4.4.3. Каузальность, минимальная фаза и комплексный кепстр

При обработке одномерных сигналов весьма плодотворной является концепция сигнала с минимальной фазой (или сигнала с минимальной задержкой [22]). Такие сигналы имеют некоторые интересные свойства: они каузальны, все их полюсы и нули лежат внутри единичной окружности, большая часть их энергии сосредоточена вблизи начала координат (задержка минимальна), они абсолютно суммируемы, для них существуют сигналы с обратным спектром, которые также каузальны и абсолютно суммируемы. Можно показать, что для одномерного сигнала с минимальной фазой существует комплексный кепстр, и этот кепстр также каузален и абсолютно суммируем.

Можно ввести и определение сигналов с максимальной фазой. Это просто сигналы с минимальной фазой, обращенные во времени. Сигнал с максимальной фазой антикаузален, его инверсия и комплексный кепстр также антикаузальны.

В общем случае любой абсолютно суммируемый сигнал, сдвинутый соответствующим образом во времени, можно записать в виде свертки сигнала, имеющего минимальную фазу, с сигналом, имеющим максимальную фазу. Следовательно, его комплексный кепстр будет суммой каузальной и антикаузальной частей и, таким образом, будет абсолютно суммируемым.

Каузальность и антикаузальность связаны с одномерными опорными областями. В одномерном случае можно утверждать, что если абсолютно суммируемый сигнал обладает абсолютно суммируемой инверсией, занимающей ту же опорную область, комплексный кепстр будет тоже занимать ту же опорную область. Следовательно, абсолютно суммируемый кепстр, имеющий некоторую опорную область, соответствует абсолютно суммируемым сигналу и инверсии с той же опорной областью. Для сигналов с минимальной фазой эта область соответствует неотрицательной части оси времени, для сигнала с максимальной фазой - неположительной части оси времени.

Соотношения между опорными областями сигнала, его инверсии и кепстра непосредственно распространяются на двумерный случай [25]. Пусть . Тогда

.                                           (4.107)

Выполнив обратное преобразование Фурье выражения (4.107), можно найти, что

,                           (4.108)

где  является инверсией , полученной путем обратного преобразования Фурье функции . Аналогично можно получить выражение

.                         (4.109)

При внимательном рассмотрении выражений (4.108) и (4.109) можно убедиться, что опорная область  определяется опорными областями  и его инверсией . Например, если и , и  имеют опорную область только в первом квадранте, ту же опорную область будет иметь и , поскольку свертка последовательности из первого квадранта с другой последовательностью из того же квадранта дает последовательность из первого квадранта. Аналогичные геометрические соображения, касающиеся опорной области свертки двух сигналов, можно привести для других квадрантов и полуплоскостей, а также для опорных областей в форме сектора.

Нетрудно также показать, что опорная область комплексного кепстра заключает в себе опорные области сигнала и его инверсии [2, 25]. Поскольку

,                                             (4.110)

то разложением экспоненты в ряд можно получить следующее выражение:

.                                          (4.111)

Выполнив обратное преобразование Фурье обеих частей уравнения, получим

,                                                (4.112)

где  - последовательность, полученная  раз повторенной сверткой  со своей копией. Следовательно, опорная область , свернутая со своей копией бесконечное количество раз, является опорной областью . Поскольку

,                     (4.113)

то опорную область  можно получить тем же способом.

Можно определить многомерный сигнал с минимальной фазой как абсолютно суммируемый сигнал, инверсия и комплексный кепстр которого также абсолютно суммируемы и имеют ту же опорную область. Последняя должна быть открытой областью, такой, как квадрант, клин, несимметричная полуплоскость или правильная полуплоскость. В задачах обработки многомерных сигналов опорная область должна входить в любое определение минимальной фазы.