4.4.4. Разложение спектра на множители [2]

Кепстр полезен как средство решения трудной задачи факторизации двумерных спектров. Эта задача возникает при синтезе и реализации БИХ-фильтров, которые детально будут рассмотрены в гл. 5. Задачу факторизации спектра можно сформулировать разными способами. В пространственной области можно описать ее с помощью вещественной симметричной автокорреляционной последовательности конечной протяженности , Фурье-спектр которой  является положительно определенной функцией. В идеале необходимо отыскать вещественную последовательность конечной протяженности и с минимальной фазой , такую, что

.                                     (4.114)

Аналогично в частотной области отыскивается такая функция , что

.                                                    (4.115)

Если бы не существовало ограничения, что  должна быть последовательностью с минимальной фазой, можно было бы положить

,             (4.116)

где  - произвольная фазовая функция. Однако с учетом указанного ограничения необходимо выбирать фазовую функцию так, чтобы она была функцией с минимальной фазой . Но даже и это в общем случае не гарантирует, что  будет иметь конечную протяженность. Можно также сформулировать задачу факторизации спектра в области -преобразования, выполнив -преобразование выражения (4.114). В результате получим уравнение

,                                              (4.117)

для которого отыскивается решение , являющееся двумерным полиномом с минимальной фазой.

Проблему факторизации спектра в одномерном случае можно сформулировать подобным образом, но в отличие от ее двумерного аналога ее можно решить с помощью основной теоремы алгебры. Кратко остановимся на этом вопросе, поскольку здесь отчетливо проявляется существенная разница между одномерными и двумерными случаями цифровой обработки сигналов. В одномерном случае мы имеем дело с симметричным полиномом вида

                                                                 (4.118)

со следующими свойствами:  и . Необходимо найти такой полином с минимальной фазой  вида

, что                                                   (4.119)

.                                                                  (4.120)

Основная теорема алгебры позволяет записать  в виде произведения

,                                        (4.121)

где  - положительная вещественная константа, а корни  удовлетворяют неравенству

.                                                                                              (4.122)

Искомый одномерный спектральный множитель  с минимальной фазой получается простым выбором корней уравнения (4.121), лежащих внутри единичной окружности . Таким образом,

,                                                  (4.123)

что удовлетворяет условию (4.120). Заметим, что последовательность , соответствующая обратному -преобразованию функции (4.123), является каузальной, минимально-фазовой и обладает конечной протяженностью, как и требуется. В общем случае из-за невозможности разложить двумерный полином и получить его сомножители, описанный выше метод разложения спектра нельзя распространить на два измерения. Например, рассмотрим двумерную положительную вещественную функцию

                     (4.124)

или соответствующий полином в -области

.                          (4.125)

Например, такой двумерный полином вида

,                    (4.126)

что

,                                  (4.127)

так же как и любое другое аналогичное конечное выражение, найти невозможно. Однако существует разложение  на трансцендентные множители, удовлетворяющие условию (4.127), но при этом множитель  будет содержать бесконечное число членов.

Разложение  на трансцендентные множители можно получить путем перехода от выражения (4.114) к кепстрам с использованием описанных выше свойств комплексного кепстра. Мы видим, что кепстр последовательности  можно записать следующим образом:

,                          (4.128)

где  можно вычислить по формуле

.                       (4.129)

Поскольку  - вещественная и положительная функция, то при вычислении ее логарифма неопределенности не возникает; проблемы развертывания фазы, связанной с комплексным логарифмом, в этом случае также не возникает.

Как было показано в разд. 4.4.3, двумерная последовательность  с опорной областью в одном квадранте является последовательностью с минимальной фазой, если ее кепстр  имеет опорную область в одном квадранте. Подобный результат можно получить и для последовательности с опорной областью в несимметричной полуплоскости. Например, если

, для                                       

и

для , ,                (4.130)

то  является такой последовательностью с минимальной фазой, что

 для                                        

и

для , .                (4.131)

Если мы потребуем, чтобы последовательность  имела форму несимметричной полуплоскости согласно (4.130), то последовательности  и  будут перекрываться только в начале координат. Из выражения (4.128) видно, что

            (4.132)

Последовательность  соответствующая кепстру , заданному выражением (4.132), будет последовательностью с минимальной фазой с опорной областью в несимметричной полуплоскости, однако гарантии, что она будет иметь конечную протяженность, нет. С другой стороны, если  построить как автокорреляционную функцию последовательности конечной протяженности  с минимальной фазой, то процедура разложения двумерного спектра на множители, описанная выше, будет точно воспроизводить последовательность  из последовательности .

Заметим также, что если  является последовательностью конечной протяженности с минимальной фазой и опорной областью только в первом квадранте, то кепстр  автокорреляционной функции последовательности  будет тождественно равен нулю во втором и четвертом квадрантах:

 для ,                        

и

для  и .              (4.133)

Следовательно, выражение (4.133) является необходимым условием существования спектрального множителя, соответствующего последовательности  конечной протяженности с опорной областью в первом квадранте. Поскольку опорные области в форме сектора можно отобразить на первый квадрант с помощью линейных преобразований, существуют аналогичные необходимые условия того, что  является последовательностью конечной протяженности и минимальной фазы с опорной областью на секторе.