Упражнения

4.1. Двумерная система описывается разностным уравнением

.

Найдите  для , , если , принимая во внимание, что  для  или .

4.2. Рассмотрим рекурсивно вычислимый цифровой фильтр с выходной маской, изображенной на рис. У4.2. Эта маска соответствует разностному уравнению

.

Рис. У4.2.

а)      Определите все допустимые для этой маски направления рекурсии.

б)      Определите опорную область импульсного отклика фильтра.

в)      Найдите набор начальных условий, обеспечивающий линейность, инвариантность к сдвигу и рекурсивную вычислимость этой системы.

4.3. Повторите задание предыдущего упражнения для фильтра с выходной маской, показанной на рис. У4.3.

Рис. У4.3.

4.4. Рассмотрим рекурсивно вычислимый двумерный фильтр, выходная маска которого заключена в некотором секторе, а отверстие маски находится в вершине сектора, как показано на рис. У4.4.

Рис. У4.4.

а)      Найдите опорную область результирующего фильтра для тривиальной входной маски.

б)      Найдите все возможные направления рекурсии.

в)      Влияет ли (и если влияет, то как) форма заднего края маски на результаты ответов пп. «а» и «б»?

4.5. На рис. У4.5 изображена несимметричная полуплоскостная выходная маска.

а)      Найдите такое преобразование переменных, чтобы в новой системе координат этот фильтр можно было реализовать в виде маски одного квадранта.

Рис.У4.5.

б)      Постройте преобразованную выходную маску.

в)      Найдите обратное преобразование, которое переводит маску, определенную в п. «б», в маску, показанную на рис. У4.5.

г)      Используя результат предыдущего пункта, определите, какие отсчеты на преобразованной выходной плоскости следует вычислить, а какими можно пренебречь.

4.6. Рассмотрим несимметричный полуплоскостной фильтр с выходной маской, представленной на рис. У4.5. Начальные условия для этой маски приведены на рис. 4.6.

а)      Изобразите граф упорядочивания, соответствующий этой рекурсии. Ваш результат должен быть аналогичен графу на рис. 4.10 за исключением маркировки узлов.

б)      Граф упорядочивания, полученный в п. «а», можно получить из рис. 4.10 с помощью преобразования переменных. Найдите это преобразование и покажите, что оно является преобразованием, обратным тому, которое отображает выходную несимметричную полуплоскостную маску на маску одной четверти плоскости.

в)      Используя результат п. «б», покажите, что граф упорядочивания любого фильтра с опорной областью на секторе эквивалентен графу на рис. 4.10.

г)      Для исходной маски, показанной на рис. У4.5, определите соотношение упорядочивания, которое позволяет одновременно вычислить максимально возможное количество выходных отсчетов.

4.7. Найдите -преобразование следующих двумерных массивов и определите связанные с ними области сходимости.

а) ;              б) ;

в)

4.8. Рассмотрим последовательность , опорная область которой представляет собой заштрихованную часть плоскости  на рис. У4.8.

Рис. У4.8.

Пусть  является двумерным -преобразованием последовательности .

а)      Если точка  находится внутри области сходимости , какие еще точки обязательно будут находиться в области сходимости?

б)      Что можно сказать о наклоне границы области сходимости?

4.9. Одномерной последовательности  соответствует -преобразование , сходящееся при . Определите -преобразование и область сходимости последовательности

.

4.10. Некоторые свойства -преобразования были сформулированы в настоящей главе без доказательств.

а)      Выведите следующие свойства -преобразования  последовательности :

1.      .

2.      .

3.      .

4.      .

5.      .

6.      .

7.      .

б)      Выведите теорему Парсеваля:

.

4.11. Рассмотрим двумерную передаточную функцию

,

где ,  и  - действительные коэффициенты.

а)      Напишите алгебраическое выражение для траектории корня в плоскости , т. е. найдите такое выражение вида

,

чтобы знаменатель  был равен нулю.

б)      Покажите, что для устойчивости  необходимо, чтобы

 и .

в)      Сможете ли вы найти какие-либо другие необходимые условия? (Указание. Рассмотрите траекторию корня в плоскости .)

4.12. Предположим, что двумерное -преобразование последовательности  равно . В этом случае диаграмма корней  описывается алгебраическими соотношениями

; .

а)      Определите новую последовательность , где  и  - комплексные константы. Напишите выражение для  через .

б)      Предположим, что . Изобразите диаграмму корней для . Укажите точки на диаграмме корней плоскости  соответствующие , и аналогичные точки на диаграмме корней плоскости , соответствующие .

в)      Примем, как и в п. «б», что . Постройте диаграмму корней , указав, как это делалось в п. «б», точки, в которых  (-плоскость) и  (-плоскость), для следующих значений  и :

1) , ; 2) , ; 3) , .

4.13. Определите обратное -преобразованне указанных ниже передаточных функций, принимая во всех случаях, что область сходимости включает двумерную единичную биокружность:

а)      ;

б)      ;

в)      .

4.14. Одним из способов определения передаточной функции системы из направленного графа является следующий: определяют последовательность на выходе каждого суммирующего узла, в каждом узле записывают соответствующее выражение в области -преобразования и затем, объединяя эти выражения, исключают все переменные, кроме входных и выходных. Используя этот подход, найдите передаточные функции двух систем, изображенных на рис. У4.14.

Рис. У4.14.

4.15. Каждый направляющий граф соответствует разностному уравнению или семейству разностных уравнений. Эти разностные уравнения можно найти путем определения последовательностей на выходе каждого узла суммирования и записи разностного уравнения в каждом узле суммирования. Используя этот метод, определите разностные уравнения, соответствующие двум схемам упр. 4.14.

4.16. Докажите, что двумерный разделимый рекурсивный фильтр первого квадранта  устойчив тогда и только тогда, когда  и  соответствуют передаточным функциям устойчивых каузальных одномерных фильтров.

4.17. Установите, устойчивы или нет следующие фильтры:

а)      ;

б)      ;

в)      .

4.18. Предположим, что импульсный отклик  рекурсивного фильтра имеет опорную область только в первом квадранте и что . Чтобы последовательность  представляла собой импульсный отклик устойчивого фильтра, необходимо и достаточно, чтобы

,  для  и  для .

а)      Предположим, что с помощью следующего линейного отображения:

сформирован новый импульсный отклик . Постройте опорную область .

б)      Пусть . Как связаны между собой  и ?

в)      Каким условиям должна удовлетворять , чтобы отклик  был импульсным откликом устойчивого фильтра?

4.19. Предположим, что , где  и .

а)      Напишите выражение для . Начертите область сходимости  в плоскости .

б)      Определите , если координаты  и  связаны следующим линейным отображением:

.

Постройте опорную область .

в)      Пусть

.

Выведите уравнение, связывающее  и . Начертите в плоскости  область сходимости .

г)      Пусть  и  - развернутая фазовая функция. Покажите, что  можно записать в виде . Покажите, что  является непрерывной, нечетной и дважды периодичной.

д)      Пусть  и  – развернутая фазовая функция. Выведите соотношение, связывающее  и . Покажите, что  непрерывна, нечетна и периодична.

4.20. В разд. 4.4.1 указано, что если

,

то кепстр  описывается выражением

,

где  - одномерный комплексный кепстр , а  - одномерный комплексный кепстр . Докажите правильность этого утверждения.

4.21. Пусть  - комплексный кепстр последовательности . Определите комплексный кепстр , где ; ;  и .

4.22. В этой главе не рассматривались рекурсивные системы для вычисления последовательностей с гексагональной дискретизацией. Тем не менее такие системы можно определить. Они оказываются совершенно подобными своим прямоугольным аналогам. На рис. У4.22 приведены две выходные маски для рекурсивных систем с гексагональной дискретизацией. Система, показанная на рис. У4.22,а называется маской одной трети плоскости, а показанная на рис. У4.22,б - маской одной шестой плоскости.

Рис. У4.22.

а)      Определите все возможные направления рекурсии для маски одной трети плоскости.

б)      Определите опорную область импульсного отклика фильтра, приняв во внимание, что система линейна и инвариантна к сдвигу и что во входную маску попадает только один отсчет в начале координат (т. е. что числитель системной функции - ненулевая константа).

в)      Проделайте задания пп. «а» и «б» для выходной маски одной шестой плоскости.

г)      Найдите линейное преобразование координат, превращающее маску одной трети плоскости, представленную на рис. У4.22,а, в фильтр одной шестой плоскости.

4.23. -Преобразование гексагонально-дискретизованного сигнала можно определить следующим образом:

.

а)      Используя это определение, установите связь между -преобразованием и преобразованием Фурье  сигнала с гексагональной дискретизацией.

б)      Две ЛИС-системы (прямоугольная и гексагональная) имеют одну и ту же передаточную функцию

.

Как связаны между собой частотные отклики этих систем?

в)      Известно, что прямоугольная система, рассмотренная в п. «б», устойчива. Достаточно ли этого для устойчивости гексагональной системы? Объясните свой ответ.

4.24. Рассмотрите сигнал первого квадранта

,

где . Покажите, что комплексный кепстр  описывается выражением

.

При доказательстве используйте следующую последовательность этапов:

а)      Выведите замкнутое выражение для .

б)      Покажите, что для произвольной последовательности .

в)      Выведите выражение для , используя тот факт, что .

г)      Вычислите ,  и наконец .