1.2.4. Линейные системы, инвариантные к сдвигу

Для облегчения изучения многомерных систем необходимо ограничиться определенными классами операторов, обладающих общими свойствами. Линейные инвариантные к сдвигу дискретные системы (ЛИС-системы) - это наиболее часто изучаемый класс систем для обработки дискретных сигналов любой размерности. Эти системы отличаются простотой как при разработке, так и при анализе, но в то же время они обладают достаточными возможностями для решения многих практических задач. Поведение этих систем во многих случаях можно изучать безотносительно к конкретным характеристикам входного сигнала. Класс линейных инвариантных к сдвигу систем, безусловно, не является наиболее общим классом изучаемых систем, однако он может служить хорошей отправной точкой.

Ранее мы получили выражение (1.29) для выходной последовательности линейной системы при входном сигнале . Если система еще и инварианта к сдвигу, можно сделать дальнейшие упрощения. Импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс описывается выражением

.                      (1.33)

Для частного случая  имеем

.              (1.34)

Используя принцип инвариантности к сдвигу, описываемый равенством (1.30), получим

.             (1.35)

Импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс равен сдвинутому импульсному отклику на входной импульс, расположенный в начале координат. Введя обозначение , можно выразить выходную последовательность следующим образом:

.                       (1.36)

Это соотношение известно под названием двумерной дискретной свертки. В сущности здесь выполняется разложение входной последовательности  на взвешенную сумму сдвинутых импульсов в соответствии с равенством (1.25). ЛИС-система преобразует каждый импульс в сдвинутую копию импульсного отклика . Суперпозиция этих взвешенных и сдвинутых импульсных откликов образует выходную последовательность, причем весовыми коэффициентами являются значения отсчетов входной последовательности . Равенство (1.36) записано в предположении, что ЛИС-система полностью характеризуется своим импульсным откликом .

Выполнив замену переменных  и , равенство (1.36) можно записать в другой форме:

.                (1.37)

Отсюда видно, что свертка - это коммутативная операция. Будем использовать двойную звездочку  для обозначения двумерной свертки [одиночная звездочка  будет обозначать одномерную свертку]. Тогда уравнения (1.36) и (1.37) примут вид

.                 (1.38)

С помощью векторных обозначений выходную последовательность -мерной ЛИС-системы можно представить как -мерную свертку выходной последовательности и импульсного отклика

.                  (1.39)

Двумерная свертка принципиально не отличается от ее одномерного аналога. Как и в одномерном случае, возможна следующая вычислительная интерпретация операции свертки. Будем рассматривать  и  как функции  и . Чтобы из последовательности  образовать последовательность , сначала выполняем отражение  относительно обеих осей  и , а затем сдвигаем последовательность так, чтобы отсчет  попал в точку , как показано на рис. 1.11. Последовательность-произведение  образована; для нахождения значения выходного отсчета  складываем ненулевые значения отсчетов последовательности-произведения. При изменении значений  и  последовательность  сдвигается по плоскости , давая другие последовательности-произведения и соответственно другие значения выходных отсчетов. Если используется другая возможная форма записи дискретной свертки [выражение (1.37)], в приведенном описании вычислений  и  меняются местами.

Рис. 1.11. a - последовательность ; б - последовательность  при , .

Пример 1

Рассмотрим двумерную дискретную ЛИС-систему, выходной отсчет которой в точке  характеризует вклад значений входных отсчетов, расположенных в точках ниже и левее точки . Грубо говоря, система представляет собой один из видов двумерного цифрового интегратора; ее импульсный отклик - это двумерная единичная ступенчатая последовательность , описанная в разд. 1.1.1.

В качестве входной последовательности  выберем двумерную последовательность конечной протяженности, значения отсчетов которой равны 1 внутри прямоугольной области ,  и 0 вне ее.

Для вычисления значения выходного отсчета  с помощью выражения (1.36) образуем последовательность-произведение . В зависимости от конкретного значения  ненулевые области последовательностей  и  перекрываются в различной степени. Можно выделить пять случаев, представленных на рис. 1.12, где ненулевые области каждой последовательности заштрихованы, а нулевые отсчеты просто не показаны.

Рис. 1.12. Свертка квадратного импульса с двумерной ступенчатой последовательностью.

Ненулевые области каждой последовательности отмечены одной штриховкой; последовательность-произведение  отлична от нуля лишь в областях с двойной штриховкой.

Случай 1.  или . Из рис. 1.12 видно, что для таких значений  последовательности  и  не перекрываются. Поэтому их произведение, как и значения таких отсчетов свертки, равны нулю.

Случай 2. , . Имеет место частичное перекрытие. Вклад ненулевых значений отсчетов в последовательность-произведение имеет вид

.                   (1.40)

Случай 3. , . Здесь можно написать

.              (1.41)

Случай 4. , . По аналогии со случаем 3 имеем

.                     (1.42)

Случай 5. , . В этом последнем случае отраженная сдвинутая ступенчатая последовательность  полностью перекрывает импульс . Тогда

.                 (1.43)

В итоге полная свертка имеет вид

.             (1.44)

Ее графическое изображение приведено на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Свертка двух последовательностей, рассмотренная в примере 1.

Можно заметить, что в рассмотренном примере и , и  представляют собой разделимые последовательности, поэтому их свертка также разделима, поскольку мы можем написать

, где                     (1.45)

Это свойство обладает общностью: свертка двух разделимых последовательностей всегда разделима (упр. 1.9).

Пример 2

В ряде случаев нас может интересовать только протяженность ненулевой области результата операции свертки. Рассмотрим, например, свертку сигнала конечной протяженности , представленного на рис. 1.14,а с импульсным откликом конечной протяженности , представленным на рис. 1.14,б [пока не будем принимать в расчет значения ненулевых отсчетов  и ]. Очевидно, что результат этой свертки, который мы назовем , также будет сигналом конечной протяженности. Определим опорную область этого выходного сигнала.

Рис. 1.14. Графическое представление свертки, рассмотренной в примере 2. а – входная последовательность; б - импульсный отклик; в - последовательность-произведение в точке ; г - опорная область свертки.

Действуя, как и раньше, образуем двумерную последовательность  в виде функции от . Начав с , сдвигаем  по последовательности . Когда две последовательности начинают перекрываться, получаем (потенциально) ненулевую точку в выходной последовательности . На рис. 1.14,в показано перекрытие для точки , а на рис. 1.14,г - опорная область для .

Даже внутри этой области некоторые отсчеты  могут иметь нулевые значения, поскольку слагаемые в правой части равенства (1.36) могут взаимно уничтожаться для каких-то конкретных значений . Однако в общем случае последовательность  будет иметь ненулевые значения в этой области, за пределами же ее значения  всегда будут нулевыми.

В качестве упражнения читатель может вычислить значения отсчетов  в опорной области для простого случая, когда  и  равны 1 в своих опорных областях (рис. 1.14, а и б).

В этом разделе мы рассмотрели два относительно простых примера выполнения двумерной свертки. Читатель, несомненно, заметил, что эти вычисления требуют определенных усилий. К счастью, такого рода вычисления редко приходится выполнять вручную. Однако знакомство с основными операциями необходимо для написания соответствующих машинных программ и для интерпретации результатов. Действительно, невозможно правильно выполнить операцию двумерной свертки, не определив предварительно все случаи, требующие рассмотрения. Это всегда должно быть первым шагом при выполнении свертки.