5.5.3. Синтез по амплитуде с учетом условия устойчивости

Можно так поставить задачу синтеза фильтра, чтобы вместе с обычной ошибкой аппроксимации минимизировать и «ошибку устойчивости»  [18]. Эта ошибка устойчивости, являющаяся грубой мерой неустойчивости фильтра, представляет своего рода штрафную функцию. Она должна равняться нулю для устойчивых фильтров и принимать большие значения для неустойчивых. Тогда можно синтезировать фильтр, минимизируя выражение

,                                                 (5.122)

где положительная константа  (весовой множитель) определяет относительную важность  и . Для минимизации функционала  Экстром и др. [18] использовали методы нелинейной оптимизации. Их ошибка устойчивости основывалась на разности множества коэффициентов знаменателя и минимально-фазового множества с той же автокорреляционной функцией.

Для нахождения упомянутого здесь минимально-фазового множества прежде всего необходимо вычислить автокорреляционную функцию множества коэффициентов знаменателя  по несимметричной полуплоскости

.        (5.123)

Затем необходимо разделить Фурье-спектр функции , обозначенный через , на минимально-фазовую и максимально-фазовую компоненты. Это выполняется путем разложения спектра на множители с использованием комплексного кепстра (разд. 4.4.4).

Для этого формируется кепстр  автокорреляционной функции и он умножается на окно , соответствующее несимметричной полуплоскости [выражение (4.132)]

.                          (5.124)

Индекс  напоминает о том, что этот кепстр принадлежит минимально-фазовой последовательности .

Если синтезированный фильтр устойчив, множество коэффициентов знаменателя  представляет собой минимально-фазовое множество с опорной областью на несимметричной полуплоскости. В этом случае  равно ; в противном случае равенство не имеет места. Таким образом, в качестве ошибки устойчивости можно использовать функционал

.                     (5.125)

На практике из-за численных ошибок при нахождении кепстра  редко получают функционал  равным нулю. В общем случае  имеет бесконечную протяженность, и при вычислении  с помощью БПФ возникает пространственное наложение. Как указывалось в разд. 4.5.5, степень наложения можно контролировать, увеличивая размер БПФ.