ПЕРСПЕКТИВА

Слово «перспектива» происходит от латинского глагола perspicio - «ясно вижу». В изобразительном искусстве перспектива - способ изображения пространственных фигур на плоскости такими, какими они видны из одной неподвижной точки. Из опыта мы знаем, что при удалении предмета его видимые размеры уменьшаются, уходящие вдаль параллельные прямые (например, два рельса железнодорожного пути) представляются нам сходящимися в одной точке на горизонте, а круглое озеро выглядит с берега как вытянутый овал.

Точные законы перспективы разрабатывали архитекторы, художники и ученые эпохи Возрождения начиная с XV в., среди них - Ф. Брунеллески, П. Уччелло, Пьеро делла Франческо, Леонардо да Винчи, А. Дюрер и другие.

На одной из гравюр А. Дюрера изображено, как художник рисует лютню. Перед ним стоит прибор, который состоит из рамки с натянутой на нее квадратной сеткой и прикрепленным перед ней глазком; глядя в этот глазок на лютню, художник переносит ее изображение на лежащий перед ним лист бумаги, на котором нанесена такая же, как на рамке, квадратная сетка. Это практическая школа перспективы.

Гравюра А. Дюреро «Построение перспективы лютни».

Сформулируем математическую задачу построения перспективного изображения. Представим себе прозрачную плоскость  картины, расположенную между точкой , откуда идет наблюдение, называемой точкой зрения (глазом художника), и изображаемым предметом. Каждая точка  предмета должна изображаться точкой  картины, в которой прямая линия  пересекает плоскость . Отсюда предложенное Леонардо да Винчи название линейная перспектива (в отличие от воздушной перспективы, объясняющей и использующей уменьшение контрастности и изменение окраски удаленных предметов). Свойства линейной перспективы - это свойства центральной проекции (см. Проекция) на плоскость  с центром . На рис. 1 показано, как получается изображение двух параллельных железнодорожных рельсов: две плоскости, образующие «крышу домика» (в которых лежат проецирующие лучи), пересекаются по горизонтальной прямой , проходящей через точку зрения . В точке  пересечения  с картинной плоскостью сходятся две прямые, изображающие рельсы на картине.

Рис. 1

Вообще, для каждого семейства параллельных прямых их изображения сходятся в одной точке ; если эти прямые горизонтальны, то  лежит на «линии горизонта» - прямой, по которой проходящая через  горизонтальная плоскость пересекает картину. Такое семейство прямых хорошо видно на рисунке к статье «Проективная геометрия».

Построить для пространственной и даже для плоской фигуры ее точное перспективное изображение не всегда простая задача. Такие задачи относятся к начертательной геометрии, которую изучают в архитектурных, некоторых технических и художественных учебных заведениях. Приведем несколько примеров.

На двух рисунках 2а,б изображены ряды равноотстоящих телеграфных столбов, уходящих к «бесконечно удаленной» точке  на линии горизонта. Какой из них правильный? Может быть, оба? Наш зрительный опыт подсказывает, что правилен рис. 2а. Можно доказать, что расстояния от  до оснований столбов (и также высоты столбов) должны убывать, как числа, обратные к членам арифметической прогрессии, а на левом рисунке эти величины ведут себя как члены геометрической прогрессии - каждый раз убывают вдвое.

Рис. 2

В ряде задач практически удобно переносить изображение с плана на перспективную картину с помощью сетки квадратов (на рис. 3 по горизонтальной плоскости разбросаны одинаковые шары; их видимые размеры пропорциональны их видимым расстояниям от горизонта). Заметим, что изображения сторон квадратов, перпендикулярных картине, все сходятся в «центральной перспективной точке », а их диагонали - в «точках удаления»  и . Названия этих точек объясняются тем, что расстояния  как раз равны расстоянию от художника  до картинной плоскости. Для построения перспективы можно не рисовать всю сетку квадратов, а использовать лишь точки удаления. Итальянский художник и архитектор А. Поццо на первых страницах своего классического трактата «Перспектива живописцев и архитекторов», изданного в Риме в 1693 г., пишет, как правильно построить перспективное изображение «продолговатого прямоугольника»: «...посредством циркуля на основной линии откладываем ширину  прямоугольника; рядом откладываем его длину . От точек  и  проводим оптические линии к центральной перспективной точке  и от точки  - прямую к точке удаления  и затем (из точки  пересечения  и ) - прямую, параллельную линии , после чего прямоугольник предстанет в перспективе» (рис. 4; рядом справа изображен прямоугольник, у которого длина больше ширины).

Рис. 3

Рис. 4

Занимаясь геометрическими построениями перспективных изображений, нетрудно заметить, что некоторые прямые сами собой проходят через одну точку (как, скажем, диагонали и стороны квадратов на рис. 2). За этим фактом можно обнаружить интересные геометрические теоремы. Именно, разрабатывая теорию перспективы, французский архитектор Ж. Дезарг (1593-1662) ввел понятие бесконечно удаленной точки и доказал замечательные геометрические теоремы о конфигурациях точек и прямых, положившие начало новому разделу математики - проективной геометрии.