ПОЛЕ

Поле - множество элементов, для которых определены арифметические операции.

Если учитель предложит разложить на множители многочлен , то ученик 6-го класса ответит, что этот многочлен на множители неразложим. Ученик же 7-го класса легко справится с этой задачей, записав разложение в виде . С разложением на множители многочлена  справятся лишь немногие школьники старших классов, которые знают комплексные числа:  А если пользоваться лишь действительными числами, то такое разложение осуществить невозможно.

Таким образом, решение вопроса, можно ли разложить данный многочлен на множители, зависит от того, какими числами разрешается пользоваться: только рациональными, или всеми действительными, или, наконец, комплексными числами. При этом, выполняя различные операции над многочленами, их коэффициенты приходится складывать и вычитать, умножать и делить друг на друга. Поэтому в алгебре приходится пользоваться не произвольными множествами коэффициентов, а лишь множествами чисел, обладающих следующим важным свойством: вместе с двумя числами  и  этим множествам принадлежат сумма, разность, произведение и частное чисел  и  (разумеется, кроме случая, когда приходится делить на нуль).

Поскольку в таких множествах операции выполняются без ограничений, т.е. в них можно «перемещаться» без препон, как по ровной местности, условились называть числовые множества с описанным выше свойством неограниченной выполнимости арифметических операций числовыми полями. Полями являются множество  всех рациональных чисел, множество  всех действительных чисел и множество  всех комплексных чисел (обозначения происходят от французских слов quotient - «отношение», reel - «действительный» и complexe - «комплексный»).

Но этими тремя полями не исчерпывается все многообразие числовых полей. Например, числа вида , где  и  рациональны, образуют поле, равно как и числа вида , где коэффициенты  рациональны. Проверить, что сумма, разность и произведение чисел такого вида имеют аналогичный вид, совсем несложно. Несколько сложнее доказать, что и операция деления приводит к подобным числам. Про поле чисел вида  говорят, что оно получено присоединением числа  к полю , а поле чисел вида  получается из  присоединением числа  (число  равно ).

Введение понятия числового поля позволило уточнить многие утверждения алгебры многочленов, глубже изучить свойства алгебраических уравнений - эти свойства зависят от того, над какими полями рассматривают эти многочлены и уравнения, т.е. какие коэффициенты считаются допустимыми. Но математики, введя то или иное полезное понятие, стараются выяснить, от каких его свойств зависят все остальные свойства, т.е. какими аксиомами определяется это понятие. Общими свойствами всех числовых полей являются следующие:

1) для любых элементов  и  поля  определены их сумма  и произведение ;

2) в поле существуют нуль (0) и единица (1);

3) для любого числа  из поля  в  есть противоположное ему число , а если , то и - обратное ему число ;

4) выполняются тождества:

выражающие коммутативность и ассоциативность операций сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения и свойства нуля, единицы, противоположного и обратного элементов. Другие равенства, например такие, как  или , можно уже вывести из указанных основных тождеств, следовательно, они справедливы для любого поля.

Оказалось, что операции сложения и умножения с указанными свойствами можно, определять не только для чисел, но и для иных объектов.

Очень интересный вид полей открыл французский математик Э. Галуа. Эти поля состоят лишь из конечного числа элементов. Простейшими примерами таких полей Галуа являются поля вычетов по простому модулю (см. Сравнения).

Многочисленные тождества, изучаемые в курсе алгебры средней школы и наполняющие учебники и задачники по алгебре, являются следствиями основных тождеств, входящих в определение поля, и потому эти тождества верны для любых полей.

Для полей можно строить не только алгебру, но и арифметику. Для этого нужно сначала определить, какие элементы поля называются целыми. Целыми алгебраическими числами называют числа, которые удовлетворяют уравнению вида , где коэффициенты  - обычные целые числа. Например,  - целое алгебраическое число, так как оно является корнем уравнения .

Сумма, разность и произведение целых алгебраических чисел тоже являются целыми алгебраическими числами, а частное, вообще говоря, целым уже не является. Любое множество чисел, содержащее вместе с двумя числами их сумму, разность и произведение, называют числовым кольцом. Примерами числовых колец могут  служить множества чисел вида  или , где коэффициенты  - обычные целые числа. Обобщая понятие числового кольца, математики ввели общее понятие кольца: множества элементов, в котором определены операции сложения и умножения, причем сложение обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, умножение дистрибутивно относительно сложения, а каждый элемент  имеет противоположный . Умножение в кольцах, вообще говоря, не обязано быть коммутативным или ассоциативным. Примером некоммутативного кольца является множество квадратных матриц -го порядка.

Арифметика в числовых кольцах имеет особенности, отличающие ее от обычной арифметики целых чисел. Например, в числовом кольце всех целых алгебраических чисел нет ни одного простого числа - каждое число  можно разложить на множители: .