ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Последовательность - одно из основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу  ставится в соответствие элемент  некоторого множества. Последовательность записывается в виде , или кратко . Элементы  называются членами последовательности,  - первым,  - вторым,  - общим (-м) членом последовательности.

Наиболее часто рассматривают числовые последовательности, т.е. последовательности, члены которых - числа. Аналитический способ - самый простой способ задания числовой последовательности. Это делают с помощью формулы, выражающей -й член последовательности  через его номер . Например, если

, то , , , .

Другой способ - рекуррентный (от латинского слова recurrens - «возвращающийся»), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие. Например:

, .                 (1)

Примеры числовых последовательностей - арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия.

Интересно проследить поведение членов последовательности при неограниченном возрастании номера  (то, что  неограниченно возрастает, записывается в виде  и читается: « стремится к бесконечности»).

Рассмотрим последовательность с общим членом : , , , …, , …. Все члены этой последовательности отличны от нуля, но чем больше , тем меньше  отличается от нуля. Члены этой последовательности при неограниченном возрастании  стремятся к нулю. Говорят, что число нуль есть предел этой последовательности.

Другой пример:  - определяет последовательность

, , , , ….

Члены этой последовательности также стремятся к нулю, но они то больше нуля, то меньше нуля - своего предела.

Рассмотрим еще пример: . Если представить  в виде

,             (2)

то станет понятно, что эта последовательность стремится к единице.

Дадим определение предела последовательности. Число  называется пределом последовательности , если для любого положительного числа  можно указать такой номер , что при всех  выполняется неравенство .

Если  есть предел последовательности , то пишут , или  ( - три первые буквы латинского слова limes - «предел»).

Это определение станет понятнее, если ему придать геометрический смысл. Заключим число  в интервал  (рис. 1). Число  есть предел последовательности , если независимо от малости интервала  все члены последовательности с номерами, большими некоторого , будут лежать в этом интервале. Иными словами, вне любого интервала  может находиться лишь конечное число членов последовательности.

Рис. 1

Для рассмотренной последовательности в -окрестность точки нуль при  попадают все члены последовательности, кроме первых десяти, а при  - все члены последовательности, кроме первых ста.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела - расходящейся. Вот пример расходящейся последовательности: . Ее члены попеременно равны  и  и не стремятся ни к какому пределу.

Если последовательность сходится, то она ограничена, т.е. существуют такие числа  и , что все члены последовательности удовлетворяют условию . Отсюда следует, что все неограниченные последовательности расходящиеся. Таковы последовательности:

«Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики». Ж. Фурье

Стремящаяся к нулю последовательность называется бесконечно малой. Понятие бесконечно малой может быть положено в основу общего определения предела последовательности, так как предел последовательности  равен  тогда, и только тогда, когда  представимо в виде суммы , где  - бесконечно малая.

Рассмотренные последовательности  являются бесконечно малыми. Последовательность , как следует из (2), отличается от 1 на бесконечно малую , и потому предел этой последовательности равен 1.

Большое значение в математическом анализе имеет также понятие бесконечно большой последовательности. Последовательность  называется бесконечно большой, если последовательность  бесконечно малая. Бесконечно большую последовательность  записывают в виде , или , и говорят, что она «стремится к бесконечности». Вот примеры бесконечно больших последовательностей:

Подчеркнем, что бесконечно большая последовательность не имеет предела.

Рассмотрим последовательности  и . Можно определить последовательности с общими членами , ,  и (если ) . Справедлива следующая теорема, которую часто называют теоремой об арифметических действиях с пределами: если последовательности  и  сходящиеся, то сходятся также последовательности , , ,  и имеют место равенства:

В последнем случае необходимо потребовать, кроме того, чтобы все члены последовательности  были отличны от нуля, еще и чтобы выполнялось условие .

Применяя эту теорему, можно находить многие пределы. Найдем, например, предел последовательности с общим членом

.

Представив  в виде

,

установим, что предел числителя и знаменателя существует:

поэтому получим:

.

Важный класс последовательностей - монотонные последовательности. Так называют последовательности возрастающие ( при любом ), убывающие , неубывающие  и невозрастающие . Последовательность  возрастающая, последовательность  убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

Представим себе, что последовательность  не убывает, т. е. выполняются неравенства

,

и пусть, кроме того, эта последовательность ограничена сверху, т.е. все  не превосходят некоторого числа . Каждый член такой последовательности больше предыдущего или равен ему, но все они не превосходят . Вполне очевидно, что эта последовательность стремится к некоторому числу, которое либо меньше , либо равно . В курсе математического анализа доказывается теорема, что неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел (аналогичное утверждение справедливо для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности). Эта замечательная теорема дает достаточные условия существования предела. Из нее, например, следует, что последовательность площадей правильных -угольников, вписанных в окружность единичного радиуса, имеет предел, так как является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Предел этой последовательности обозначается .

С помощью предела монотонной ограниченной последовательности определяется играющее большую роль в математическом анализе число  - основание натуральных логарифмов:

.

Последовательность (1), как уже отмечалось, монотонная и, кроме того, ограничена сверху. Она имеет предел. Мы легко найдем этот предел. Если он равен , то число  должно удовлетворять равенству . Решая это уравнение, получаем .