СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА

В Древней Греции число называли совершенным, если оно равнялось сумме всех своих делителей (исключая само число). Например: ; ; . Указанные три числа - первые совершенные числа. Они, как и все остальные известные совершенные числа, четны. Еще древнегреческий математик Евклид в III в. до н.э. указывал, что четные совершенные числа могут быть получены в виде  в том случае, если число  простое. Простые числа вида  стали называть простыми числами Мерсенна, по имени французского монаха М. Мерсенна (1588-1648), много занимавшегося совершенными числами. Л. Эйлер показал, что этими числами исчерпываются все четные совершенные числа.

К настоящему времени числа вида  проверены на простоту для всех  до 50000. В результате обнаружено более 30 простых чисел Мерсенна, самое большое из которых получается при . Это число с 39751 десятичным знаком. Соответствующее ему совершенное число  имеет 79502 десятичных знака. Итак, известно довольно много четных совершенных чисел, но не известно ни одного нечетного совершенного числа, хотя в поисках такого числа проверены все числа до . Также неизвестно, конечно ли количество совершенных чисел.