СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА
В Древней Греции число называли совершенным, если оно равнялось сумме всех своих делителей (исключая само число). Например:
;
;
. Указанные три числа - первые совершенные числа. Они, как и все остальные известные совершенные числа, четны. Еще древнегреческий математик Евклид в III в. до н.э. указывал, что четные совершенные числа могут быть получены в виде
в том случае, если число
простое. Простые числа вида
стали называть простыми числами Мерсенна, по имени французского монаха М. Мерсенна (1588-1648), много занимавшегося совершенными числами. Л. Эйлер показал, что этими числами исчерпываются все четные совершенные числа.
К настоящему времени числа вида
проверены на простоту для всех
до 50000. В результате обнаружено более 30 простых чисел Мерсенна, самое большое из которых получается при
. Это число с 39751 десятичным знаком. Соответствующее ему совершенное число
имеет 79502 десятичных знака. Итак, известно довольно много четных совершенных чисел, но не известно ни одного нечетного совершенного числа, хотя в поисках такого числа проверены все числа до
. Также неизвестно, конечно ли количество совершенных чисел.