СОФИЗМЫ

Софизм - доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Софистами называли группу древнегреческих философов IV-V вв. до н.э., достигших большого искусства в логике.

Приведем пример софизма. Если равны половины, то равны и целые. Полуполное есть то же, что и полупустое, значит, полное – то же самое, что пустое. К софизмам можно отнести доказательство того, что Ахиллес, бегущий в 10 раз быстрее черепахи, не сможет ее догнать. Пусть черепаха на 100 м впереди Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит эти 100 м, черепаха будет впереди него на 10 м. Пробежит Ахиллес эти 10 м, а черепаха окажется впереди на 1 м и т.д. Расстояние между ними все время сокращается, но никогда не обращается в нуль. Значит, Ахиллес никогда не догонит черепаху.

А вот два математических софизма. «Докажем», что все числа равны между собой.

Пусть  и  - произвольные числа и пусть , тогда существует такое положительное число , что . Умножим это равенство на  и преобразуем полученное равенство:

,

,

.

Разделив обе части полученного равенства на , получим, что . Ошибка здесь находится в самом конце, когда мы делили на число , которое равно нулю.

А вот «доказательство» того, что все треугольники - равнобедренные.

Рассмотрим произвольный треугольник  (рис. 1). Проведем в нем биссектрису угла  и серединный перпендикуляр к стороне . Точку их пересечения обозначим через . Из точки  опустим перпендикуляр  на сторону  и перпендикуляр  на сторону . Очевидно, что  и . Но тогда прямоугольные треугольники  и  равны по катету и гипотенузе. Поэтому . В то же время , так как треугольник  - равнобедренный. Получаем: .

Рис. 1

Итак, угол  равен углу , поэтому треугольник  - равнобедренный: .

Здесь ошибка в чертеже. Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противоположного ей угла для неравнобедренного треугольника пересекаются вне этого треугольника.

И еще один пример софизма. Посмотрим на рис. 2. Прямоугольники явно равносоставлены, но площадь одного равна 64 клеткам, а площадь другого - 65. И здесь ошибка в чертеже! Точки  и  не лежат на одной прямой, а являются вершинами очень узкого параллелограмма, площадь которого равна площади одной клетки - той самой лишней клетки.

Рис. 2