СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ

Классическими средними значениями, составленными из двух положительных чисел  и , принято считать: среднее арифметическое - число , среднее геометрическое (называемое также средним пропорциональным) - число  и среднее гармоническое - число . Эти средние были известны еще античным математикам, они играли большую роль, в частности, в древнегреческой теории музыки. В одном из математических текстов, который приписывают древнегреческому математику Архиту (ок. 428-365 гг. до н.э.), среднее арифметическое , среднее геометрическое  и среднее гармоническое  определялись как равные средние члены соответственно арифметической, геометрической и гармонической пропорций:

; ; .

Из этих равенств легко получаем:

, , .

По преданию гармоническое среднее ввел Пифагор (VI в. до н.э.), выразив с его помощью отношение основных гармонических интервалов. Пифагор установил, что вместе со струной длиной , созвучно сливаясь с ней, звучат струны того же натяжения с длинами  (выше на октаву),  и  (выше на квинту и кварту), при этом 9 есть среднее арифметическое чисел 6 и 12, а 8 он определил как среднее гармоническое этих чисел. Это созвучие (и определяющее его отношение чисел 6, 8, 9, 12) называлось тетрадой. Пифагорейцы считали, что тетрада есть «та гамма, по которой поют сирены».

В древнегреческой математике, которая была по преимуществу геометрической, было известно несколько способов построения средних по двум данным отрезкам  и . У Паппа Александрийского (III в.) в его «Математическом собрании», своде результатов древнегреческой математики, приведено построение среднего геометрического двух отрезков по способам его предшественников Эратосфена (276-194 гг. до н.э.), Никомеда (II в. до н.э.) и Герона (I в.), дано также описание построения на одной фигуре всех трех средних.

На рис. 1 показано одно из возможных построений.  и   - смежные отрезки одной прямой, на отрезке  как на диаметре построена окружность, радиус этой окружности равен . В точке  восставлен перпендикуляр к прямой . В прямоугольном треугольнике  (угол  - прямой, он опирается на диаметр) высота  есть среднее пропорциональное отрезков  и , т.е. . Если  - проекция  на , то нетрудно подсчитать, что . Так как перпендикуляр короче наклонной, то . Если длины отрезков  и  равны, то точки  и  совпадают и совпадают также все рассматриваемые отрезки ,  и . Таким образом, при любых положительных  и  справедливы неравенства:

,

и в каждом из них знак равенства достигается лишь в случае .

Рис. 1

Неравенство  называется неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Из него следуют две теоремы, которые часто используются при решении задач на наибольшее и наименьшее значения, так называемых задач на экстремум: 1) произведение двух положительных чисел, при постоянной сумме, имеет наибольшее значение, когда числа равны; 2) сумма двух положительных чисел, при постоянном произведении, имеет наименьшее значение, когда числа равны.

Применив эти теоремы, нетрудно, например, установить, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат и из всех прямоугольников с заданной площадью наименьший периметр имеет также квадрат.

Средним арифметическим  положительных чисел  называется число

.

Средним геометрическим  положительных чисел  называется корень -й степени из произведения этих чисел:

.

Средним гармоническим  положительных чисел  называется число

.

Заметим, что число, обратное среднему гармоническому , есть среднее арифметическое  чисел, обратных данным:

.

Средним квадратичным  произвольных чисел  называется корень квадратный из среднего арифметического квадратов этих чисел:

.

Для любых положительных чисел  эти средние удовлетворяют неравенствам:

,                       (1)

в каждом из которых знак равенства достигается лишь в случае, когда .

Самым важным и знаменитым из этих неравенств является неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

.                      (2)

Применяя его к числам , можно доказать неравенство , а применяя его к натуральным числам  и используя тот факт, что

,

получаем неравенство .

Следствиями неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом будут обобщения теорем 1) и 2) о максимуме произведения и минимуме суммы, на основе которых решаются многие задачи на экстремум: произведение  положительных чисел, при постоянной сумме, принимает наибольшее значение, когда все эти числа равны; сумма  положительных чисел, при постоянном произведении, принимает наименьшее значение, когда все эти числа равны. Обратим внимание, что среднее арифметическое, как и среднее квадратичное, имеет смысл не только для положительных, но и для произвольных чисел , при этом справедливо неравенство . В случае, например, двух слагаемых оно принимает вид

и легко следует из тождественного неравенства . Неравенства для средних и сами средние широко применяются не только в алгебре, геометрии, математическом анализе, но и в статистике, в теории вероятностей (откуда пришло среднее квадратичное), при обработке результатов измерений.

Все рассмотренные средние являются частными случаями степенных средних: для положительных чисел  и отличного от нуля числа  степенным средним порядка  называется число

.

При  соответственно получается среднее гармоническое, среднее арифметическое и среднее квадратичное. При   не определено, однако можно показать, что при стремлении  к нулю  стремится к среднему геометрическому, и потому можно считать  средним геометрическим. Основное свойство степенных средних - это монотонность: , если , в частности

.

Рассмотрим следующую процедуру. По двум положительным числам  и  составим их среднее арифметическое  и среднее геометрическое , затем по числам  и  составим их среднее арифметическое  и среднее геометрическое . Продолжим этот процесс, определяя  и  с помощью формул:

 и .

Образуются две последовательности чисел  и . Например, если взяты числа  и , то первые члены последовательностей будут такие:

В приведенном примере последовательности  и  очень быстро сближаются. В общем случае, как было показано немецким математиком К. Ф. Гауссом, последовательности  и  приближаются друг к другу достаточно быстро и имеют общий предел. Предел этот называется арифметико-геометрическим средним чисел  и . Он не выражается элементарно через  и , однако не является и каким-то математическим курьезом, а находит многочисленные применения в ряде разделов математики.