СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Степенная функция - функция вида
, где
- заданное число, называемое показателем степени. Иногда степенной функцией называется функция несколько более общего вида
.
Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например, объем куба
есть степенная функция от
(длины его ребра):
; период
колебаний математического маятника пропорционален длине маятника
в степени
, а именно
. Если газ расширяется или сжимается без теплообмена с окружающей средой, то его давление
и объем
связаны формулой
(для воздуха, например,
). Заметим, что в двух последних случаях показатель не является целым числом.
При любом показателе степени
показательная функция
определена во всяком случае на положительной полуоси. Свойства степенной функции различны в зависимости от значения показателя степени. Если
- натуральное число
, то функция
определена на всей числовой оси, обращается в нуль при
, четная при четном
и нечетная при
нечетном, неограниченно возрастает при безграничном возрастании аргумента
. На рис. 1 и 2 приведены графики типичных степенных функций с целым положительным показателем:
(кубическая парабола) и
(парабола четвертой степени). При
степенная функция
является линейной функцией, при
- квадратичной функцией
.

Рис. 1

Рис. 2
Если
- отрицательное целое число
, то степенная функция определяется равенством
. Она определена при всех отличных от нуля
. Ее график состоит из двух частей (ветвей), имеющих асимптотами оси координат, к которым эти кривые неограниченно приближаются. Типичные представители - функции
и
их графики даны на рис. 3 и 4. При
по определению
. Если
, то функция
(обозначается также
) определяется как обратная функция для функции
. При четном
функция определена лишь для
, а при нечетном
- на всей оси. Графики таких функций
и
изображены на рис. 5 и 6.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6
Для рационального показателя
(
- несократимая дробь) степенная функция определяется формулой
.
Графики типичных степенных функций с рациональным показателем приведены на рис. 7, 8, 9.

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9