СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Степенная функция - функция вида , где - заданное число, называемое показателем степени. Иногда степенной функцией называется функция несколько более общего вида .

Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например, объем куба есть степенная функция от (длины его ребра): ; период колебаний математического маятника пропорционален длине маятника в степени , а именно . Если газ расширяется или сжимается без теплообмена с окружающей средой, то его давление и объем связаны формулой (для воздуха, например, ). Заметим, что в двух последних случаях показатель не является целым числом.

При любом показателе степени показательная функция определена во всяком случае на положительной полуоси. Свойства степенной функции различны в зависимости от значения показателя степени. Если - натуральное число , то функция определена на всей числовой оси, обращается в нуль при , четная при четном и нечетная при нечетном, неограниченно возрастает при безграничном возрастании аргумента . На рис. 1 и 2 приведены графики типичных степенных функций с целым положительным показателем: (кубическая парабола) и (парабола четвертой степени). При степенная функция является линейной функцией, при - квадратичной функцией .

Рис. 1

Рис. 2

Если - отрицательное целое число , то степенная функция определяется равенством . Она определена при всех отличных от нуля . Ее график состоит из двух частей (ветвей), имеющих асимптотами оси координат, к которым эти кривые неограниченно приближаются. Типичные представители - функции и их графики даны на рис. 3 и 4. При по определению . Если , то функция (обозначается также ) определяется как обратная функция для функции . При четном функция определена лишь для , а при нечетном - на всей оси. Графики таких функций и изображены на рис. 5 и 6.