Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Степенная функция - функция вида , где  - заданное число, называемое показателем степени. Иногда степенной функцией называется функция несколько более общего вида .

Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например, объем куба  есть степенная функция от  (длины его ребра): ; период  колебаний математического маятника пропорционален длине маятника  в степени , а именно . Если газ расширяется или сжимается без теплообмена с окружающей средой, то его давление  и объем  связаны формулой  (для воздуха, например, ). Заметим, что в двух последних случаях показатель не является целым числом.

При любом показателе степени  показательная функция  определена во всяком случае на положительной полуоси. Свойства степенной функции различны в зависимости от значения показателя степени. Если  - натуральное число , то функция  определена на всей числовой оси, обращается в нуль при , четная при четном  и нечетная при  нечетном, неограниченно возрастает при безграничном возрастании аргумента . На рис. 1 и 2 приведены графики типичных степенных функций с целым положительным показателем:  (кубическая парабола) и  (парабола четвертой степени). При  степенная функция  является линейной функцией, при  - квадратичной функцией .

282-1.jpg

Рис. 1

282-2.jpg

Рис. 2

Если  - отрицательное целое число , то степенная функция определяется равенством . Она определена при всех отличных от нуля . Ее график состоит из двух частей (ветвей), имеющих асимптотами оси координат, к которым эти кривые неограниченно приближаются. Типичные представители - функции  и  их графики даны на рис. 3 и 4. При  по определению . Если , то функция  (обозначается также ) определяется как обратная функция для функции . При четном  функция определена лишь для , а при нечетном  - на всей оси. Графики таких функций  и  изображены на рис. 5 и 6.

283-1.jpg

Рис. 3

283-2.jpg

Рис. 4

283-3.jpg

Рис. 5

283-4.jpg

Рис. 6

Для рационального показателя  ( - несократимая дробь) степенная функция определяется формулой

.

Графики типичных степенных функций с рациональным показателем приведены на рис. 7, 8, 9.

283-5.jpg

Рис. 7

283-6.jpg

Рис. 8

283-7.jpg

Рис. 9

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>