СФЕРА И ШАР
Точки
пространства, удаленные от данной точки
на данное расстояние
, образуют сферу с
центром
и
радиусом
.
Сфера ограничивает шар, состоящий из точек, удаленных от
на расстояние, не большее
. Эти
геометрические объекты, так же как окружность и круг, рассматривали еще в
глубокой древности. Открытие шарообразности Земли, появление представлений о
небесной сфере дали толчок к развитию специальной науки - сферики, изучающей расположенные
на сфере фигуры (см. Сферическая геометрия). Рассмотрим основные вопросы
классической стереометрии: взаимное расположение шара (сферы) и других
пространственных фигур, измерение объема шара и его частей, а также площади
сферы и ее частей.
Прежде
всего, плоскость
, проведенная на расстоянии
от центра
шара радиуса
, в пересечении с
шаром дает круг радиуса
с центром в точке
- основании
перпендикуляра, проведенного из
к
(рис. 1). Если плоскость
отстоит от центра
на
расстояние
,
то
имеет
с шаром (и сферой) единственную общую точку
. Такие плоскости называются
касательными к шару (сфере); они характеризуются тем, что перпендикулярны радиусу
,
проведенному в точку касания.
Рис. 1
Круговое
сечение шара делит его на два шаровых сегмента, а сферу - на две сегментные
поверхности. Часть шара, ограниченная двумя параллельными круговыми сечениями и
лежащим между ними сферическим поясом (или зоной), называется шаровой зоной
(рис. 2). Радиусы, проведенные от центра шара к точкам сферы, принадлежащим
одной сегментной поверхности или сферическому поясу, образуют шаровой сектор - он
может быть ограничен сферическим сегментом или зоной и одной или двумя
коническими поверхностями (рис. 3). Высота шаровой или сферической зоны - это
расстояние между плоскостями сечений; высота шарового сегмента или сегментной
поверхности определяется как расстояние от плоскости сечения до параллельной ей
плоскости, касательной к этому сегменту (рис. 2). Высоту шарового сектора
определяют как высоту соответствующей сегментной поверхности или сферического
пояса (рис. 3).
Рис. 2
Рис. 3
Еще
в Древней Греции умели вычислять объемы шаровых секторов и площади сферических
зон или сегментов по формулам:
,
,
где
, как
обычно, - отношение длины окружности к ее диаметру. Рассматривая шар и сферу
как частные случаи шарового сектора и сферической зоны - с высотами
, - мы получаем
формулы для объема шара и площади сферы:
,
.
Архимед
интерпретировал эти формулы так: объем и поверхность шара составляют
от объема и
полной поверхности описанного около шара цилиндра (рис. 4; по желанию Архимеда
такой чертеж был изображен на его гробнице).
Рис. 4