Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Тригонометрические функции возникли в Древней Греции в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике, которые по существу и есть тригонометрические функции, встречаются уже в III в. до н.э. в работах Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и других. Современную форму теории тригонометрических функций и вообще тригонометрии придал Л. Эйлер. Ему принадлежат определения тригонометрических функций и принятая в наши дни символика.

Тригонометрические функции (от греческих слов trigonon - «треугольник» и metreo - «измеряю») - один из важнейших классов функций.

Чтобы определить тригонометрические функции, рассмотрим тригонометрический круг (окружность) с радиусом 1 и центром в начале координат (рис. 1). Если  - угол между радиусами  и , выраженный в радианах,  (угол отсчитывается в направлении от  к ), то координаты точки  называются соответственно косинусом и синусом угла  и обозначаются как  и . Отсюда ясно, что ,  и .

301-1.jpg

Рис. 1

Для острых углов  тригонометрические функции  и  можно рассматривать как отношения катета прямоугольного треугольника (прилежащего к углу и противолежащего углу соответственно) к гипотенузе (рис. 2), длина которой уже не обязательно равна единице. Исходя из этого определения, составим таблицу для значений тригонометрических функций некоторых углов; кроме того, ясно, что

 и

301-2.jpg

Рис. 2

Чтобы построить графики тригонометрических функций при , поступим следующим образом. Разделим тригонометрическую окружность на 16 равных частей и рядом разместим систему координат, как показано на рис. 3, где отрезок длиной  на оси  также разделен на 16 равных частей. Проводя прямые линии параллельно оси  через точки деления окружности, мы на пересечении этих прямых с перпендикулярами, восставленными из соответствующих точек деления отрезка  на оси , получаем точки, координаты которых равны синусам соответствующих углов (рис. 3); отметим, что имеют место следующие приближенные равенства :

,               ,               .

301-3.jpg

Рис. 3

Если взять, скажем, не 16, а 32, 64 и т.д. точек, то можно построить сколь угодно много точек, лежащих на графике функции . Проводя через них плавную кривую, мы получим достаточно удовлетворительный график функции  на отрезке . Для того, чтобы получить функцию , определенную на всей числовой прямой, сначала определяют ее на всех отрезках вида ,  - целое, т.е. полагая, что ее значения в точках  равны , а затем для отрицательных  используют равенство . Проделав все это, мы получим график, показанный на рис. 4. В итоге получается периодическая (с периодами ,  - целое и ), нечетная функция , которая определена при всех действительных значениях ; ее область значений .

302-1.jpg

Рис. 4

При определении функции  (для всех ) заметим сначала, что  для , которое следует непосредственно из определения тригонометрических функций  и . Так как функция  уже нами определена при всех , мы положим по определению, что это равенство и задает функцию  при всех . Из этого определения нетрудно получить и график функции , которая, очевидно, будет четной и периодической, так как ее график получается из графика функции  путем параллельного переноса влево на отрезок длиной , как единого целого графика функции  (рис. 5).

302-2.jpg

Рис. 5

Простейший анализ (с помощью графика) показывает, что помимо отмеченной выше справедливы также следующие так называемые формулы приведения:

, , , .

В формулах первой строки  может быть любым целым числом, причем верхний знак соответствует , нижний знак - значению , а в формулах второй строки  может быть только нечетным числом, причем верхний знак берется при , а нижний - при ,  - целое.

С помощью основных тригонометрических функций  и  можно определить другие тригонометрические функции - тангенс и котангенс:

,              ;

при этом тангенс определен только для таких значений , для которых , т.е. для , , а функция котангенс - для таких , для которых , т.е. , . Эти функции для острых углов могут быть также представлены геометрически направленными отрезками прямых (рис. 6):

,     .

302-3.jpg

Рис. 6

Подобно синусу и косинусу, функции тангенс и котангенс для острых углов могут рассматриваться как отношения катетов: противолежащего к прилежащему для тангенса и прилежащего к противолежащему для котангенса. Графики функций  и  показаны на рис. 7 и 8; как видно, эти функции являются нечетными, периодическими и имеют в качестве периода числа , .

302-4.jpg

Рис. 7

303.jpg

Рис. 8

Важнейшие тригонометрические формулы - формулы сложения:

,

,

;

знаки в левых и правых частях формул согласованы, т.е. верхнему знаку слева соответствует верхний знак справа. Из них, в частности, выводятся формулы для кратных аргументов:

,

,

.

Сумму и разность тригонометрических функций можно представить в виде произведения тригонометрических функций (знаки в первой и четвертой формулах согласованы):

,

,

,

.

Произведение тригонометрических функций выражается через сумму следующим образом:

,

,

.

Производные тригонометрических функций выражаются через тригонометрические функции (здесь и всюду в дальнейшем мы заменим переменную  на ):

, , , .

При интегрировании тригонометрических функций получаются тригонометрические функции или их логарифмы (,  - абсолютная постоянная):

, , , .

Основные тригонометрические функции  и , как мы видели, связаны следующими соотношениями:

, .

Дифференцируя вторично эти равенства, получаем:

, .

Таким образом, функции  и  от переменной  могут рассматриваться как решения одного и того же (дифференциального) уравнения .

Это уравнение, а точнее - его обобщение, содержащее положительную постоянную ,  (решениями которого, в частности, служат функции  и ), постоянно встречается при изучении колебаний, т.е. при изучении конструкций механизмов, совершающих или производящих колебательные движения.

Функция  может быть представлена в виде бесконечного ряда . Если взять несколько первых членов этого ряда, мы получим приближения функции  с помощью многочленов. На рис. 9 показано, как графики этих многочленов с ростом их степени все лучше приближают функцию .

304.jpg

Рис. 9

Название «синус» происходит от латинского sinus - «перегиб», «пазуха» - представляет собой перевод арабского слова «джива» («тетива лука»), которым обозначали синус индийские математики. Латинское слово tangens означает «касательная» (см. рис. 6;  - касательная к окружности). Названия «косинус» и «котангенс» представляют собой сокращения терминов complementi sinus, complementi tangens («синус дополнения», «тангенс дополнения»), выражающих тот факт, что  и  равны соответственно синусу и тангенсу аргумента, дополнительного к  до : , .

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>