ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в запись которых входят тригонометрические функции от неизвестного (см. Уравнения). При решении тригонометрических уравнений их обычно сводят к простейшим уравнениям вида , где - одна из основных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс, котангенс), - некоторое число.

Простейшие тригонометрические уравнения

и (1)

(2)

при не имеют решений (рис. 1a, 2а), а при имеют два корня на любом полуоткрытом промежутке длины (совпадающие при (рис. 1б, 2б). Все корни этих уравнений выписывают с помощью формул

, ,

для уравнения (1);

для уравнения (2)

(рис. 1, 2) (см. Обратные тригонометрические функции).

Рис. 1

Рис. 2

Уравнение

(3)

имеет при любом один корень на любом полуоткрытом промежутке длины , при этом

, .

Уравнение

(4)

также имеет при любом один корень на любом полуоткрытом промежутке длины , корни уравнения (4) задаются формулой

, .

Уравнение вида заменой переменной сводится к простейшему уравнению ( - одна из основных тригонометрических функций). Из этого уравнения можно найти значения , после чего останется решить уравнение замены .

Решим уравнение . Обозначая , получим , ; , . Ответ: .

Нередко замена сводит исходное уравнение к алгебраическому относительно . После нахождения значений остается решить простейшие уравнения , . Например, замена сводит уравнение к алгебраическому уравнению .

В случае, когда определен , справедливы формулы:

; ; .

С помощью этих формул уравнение, связывающее значения , , и , приводится к уравнению относительно . Отдельно надо рассмотреть случай, когда не определен (т.е. ).

Решим уравнение . Значения , при которых не определен , являются решениями уравнения (при таких , , и ). При остальных можно воспользоваться формулами (5); обозначая через , получим: