Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в запись которых входят тригонометрические функции от неизвестного (см. Уравнения). При решении тригонометрических уравнений их обычно сводят к простейшим уравнениям вида , где  - одна из основных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс, котангенс),  - некоторое число.

Простейшие тригонометрические уравнения

 и                  (1)

                    (2)

при  не имеют решений (рис. 1a, 2а), а при  имеют два корня на любом полуоткрытом промежутке длины  (совпадающие при  (рис. 1б, 2б). Все корни этих уравнений выписывают с помощью формул

, ,

для уравнения (1);

,

для уравнения (2)

(рис. 1, 2) (см. Обратные тригонометрические функции).

299.jpg

Рис. 1

300.jpg

Рис. 2

Уравнение

                      (3)

имеет при любом  один корень на любом полуоткрытом промежутке длины , при этом

, .

Уравнение

                    (4)

также имеет при любом  один корень на любом полуоткрытом промежутке длины , корни уравнения (4) задаются формулой

, .

Уравнение вида  заменой переменной  сводится к простейшему уравнению  ( - одна из основных тригонометрических функций). Из этого уравнения можно найти значения , после чего останется решить уравнение замены .

Решим уравнение . Обозначая , получим , ; , . Ответ: .

Нередко замена  сводит исходное уравнение к алгебраическому относительно . После нахождения значений  остается решить простейшие уравнения , . Например, замена  сводит уравнение  к алгебраическому уравнению .

В случае, когда определен , справедливы формулы:

;                   ;                   .

С помощью этих формул уравнение, связывающее значения , , и , приводится к уравнению относительно . Отдельно надо рассмотреть случай, когда  не определен (т.е. ).

Решим уравнение . Значения ,  при которых не определен , являются решениями уравнения (при таких  , ,  и ). При остальных  можно воспользоваться формулами (5); обозначая  через , получим:

, ,

откуда  или .

Ответ:

.

Уравнение вида

,             (6)

где  - некоторые числа, удобно решать с помощью введения вспомогательного аргумента по следующей схеме. Записывая уравнение (6) в виде

,

легко заметить, что

,

поэтому существует такой угол , что

;                .

Следовательно,

,

и мы получили простейшее уравнение относительно .

 

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>