ТРЕУГОЛЬНИК
Простейший из многоугольников – треугольник - играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся) геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на «трех китах» - трех признаках равенства треугольников. Лишь на рубеже XIX-XX вв. математики научились строить геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятия геометрического преобразования.
За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.
В треугольнике
выделяют 6 основных элементов - 3 (внутренних) угла
и 3 соответственно противолежащие им стороны
,
и
. Признаки равенства треугольников можно сформулировать так: треугольник однозначно (т.е. с точностью до равенства) восстанавливается по следующим тройкам основных элементов:
,
и
;
,
и
;
,
и
.
Из школьного курса вам известны еще «три кита» евклидовой планиметрии - три признака подобия треугольников: треугольник с точностью до подобия восстанавливается по следующим парам величин:
;
;
.
Заметим, что в признаках равенства нельзя взять любую тройку основных элементов, даже если один из них - сторона; на рис. 1 показано, например, что треугольник нельзя однозначно построить по элементам
,
и
: треугольники
и
имеют общие угол
и сторону
, равные стороны
и
, но эти треугольники не равны.

Рис. 1
Кроме того, элементы треугольника нельзя задать произвольно, даже если их только три. Например, чтобы можно было построить треугольник по трем сторонам
,
и
, необходимо (и достаточно) (см. Необходимые и достаточные условия), чтобы выполнялись три «неравенства треугольника»:
;
;
.
Углы треугольника связаны более жестким соотношением:
(или
).
Анализируя первый и второй признаки равенства - по
,
,
или
,
,
, - мы приходим к выводу о том, что остальные элементы треугольника
, в частности сторона
, однозначно определяются имеющимися тремя элементами. Для стороны
соответствующие формулы даются теоремами косинусов и синусов:
и
,
где
.
Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых замечательных точек и линий, простейшие из которых мы и рассмотрим. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке - центре описанной около треугольника окружности (рис. 2). Этот факт следует из свойства серединного перпендикуляра
к отрезку:
состоит из тех, и только тех, точек, которые равноудалены от концов отрезка. Если для треугольника
серединные перпендикуляры к
и
пересекаются в точке
, то
и
, поэтому
и точка
обязана лежать на серединном перпендикуляре к третьей стороне
.

Рис. 2
Биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в треугольник окружности (рис. 3). Это следует из основного свойства биссектрисы
выпуклого угла:
состоит из тех, и только тех, точек угла, которые равноудалены от его сторон. Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получается еще три замечательные точки - центры вневписанных окружностей (рис. 4).

Рис. 3

Рис. 4
Радиусы описанной, вписанной и вневписанной окружностей
,
,
,
и
связаны красивым соотношением
,
а расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей
можно найти по формуле Эйлера:
.
Здесь же приведем формулы для площади треугольника:
,
где
- полупериметр треугольника.
Среди свойств биссектрис треугольника выделяется такая теорема: биссектриса внутреннего (внешнего) угла
треугольника
делит противоположную сторону внутренним (внешним) образом в отношении, равном отношению прилежащих сторон; на рис. 5
.

Рис. 5
Все три медианы пересекаются в точке
(рис. 6), называемой центроидом треугольника
(который также является центром масс для тонкой треугольной пластины). Каждая медиана делится точкой
в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины треугольника. Высоты треугольника (или их продолжения) также пересекаются в одной точке
- ортоцентре треугольника (рис. 7).

Рис. 6

Рис. 7
Пусть высоты треугольника
пересекают соответственные стороны (или их продолжения) в точках
,
,
(рис. 7). Треугольник
называется ортоцентрическим для треугольника
или, коротко, его ортотреугольником. Оказывается, высоты треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника. Если треугольник
остроугольный, то ортотреугольник
вписан в треугольник
: вершины
лежат на соответствующих сторонах треугольника
. Справедлива замечательная теорема: среди всех треугольников, вписанных в остроугольный треугольник, ортотреугольник имеет наименьший периметр.
Теоремы о пересечении высот, медиан, биссектрис треугольника в действительности можно получить из общей «теоремы Чевы» (Д. Чева - итальянский математик, (1648-1734)): отрезки
,
,
, соединяющие вершины треугольника
с точками на противолежащих сторонах (рис. 8), пересекаются в одной точке
тогда, и только тогда, когда
.

Рис. 8
ЗАДАЧА НАПОЛЕОНА
Французский император Наполеон Бонапарт был любителем математики. Он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из свидетельств тому - несколько составленных им геометрических задач.
Вот как можно сформулировать одну из них:
На сторонах произвольного треугольника
внешним образом построены как на основаниях равносторонние треугольники (рис. 1). Доказать, что центры этих треугольников также являются вершинами равностороннего треугольника.
Задача имеет довольно изящное решение. Пусть
,
и
центры равносторонних треугольников. Выполним дополнительное построение: соединим отрезками прямых точки
,
и
с ближайшими (к каждой из них) двумя вершинами треугольника
и между собой.

Рис. 1
По свойствам равностороннего (правильного) треугольника
,
,
,
и
. Выделим шестиугольник
, а внешние к нему невыпуклыс четырехугольники отбросим. Получим фигуру, изображенную на рис. 2.

Рис. 2
Отрезая теперь от упомянутого шестиугольника треугольники
и
, перемещая их в плоскости в положение, которое указано на рис. 3, получаем четырехугольник
. Отрезок
делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника. Углы
и
равны 120° каждый. Поэтому углы
и
равны 60° каждый. Следовательно, треугольник
равносторонний, что и требовалось доказать.

Рис. 3
Задача эта может послужить отправным пунктом для небольшого геометрического исследования. Проверьте, будут ли центры равносторонних треугольников, построенных внутренним образом на сторонах произвольного треугольника как на основаниях, являться вершинами равностороннею треугольника.