ТРЕУГОЛЬНИК

Простейший из многоугольников – треугольник - играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся) геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на «трех китах» - трех признаках равенства треугольников. Лишь на рубеже XIX-XX вв. математики научились строить геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятия геометрического преобразования.

За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

В треугольнике  выделяют 6 основных элементов - 3 (внутренних) угла  и 3 соответственно противолежащие им стороны ,  и . Признаки равенства треугольников можно сформулировать так: треугольник однозначно (т.е. с точностью до равенства) восстанавливается по следующим тройкам основных элементов:

,  и ; ,  и ; ,  и .

Из школьного курса вам известны еще «три кита» евклидовой планиметрии - три признака подобия треугольников: треугольник с точностью до подобия восстанавливается по следующим парам величин:

; ; .

Заметим, что в признаках равенства нельзя взять любую тройку основных элементов, даже если один из них - сторона; на рис. 1 показано, например, что треугольник нельзя однозначно построить по элементам ,  и : треугольники  и  имеют общие угол  и сторону , равные стороны  и , но эти треугольники не равны.

Рис. 1

Кроме того, элементы треугольника нельзя задать произвольно, даже если их только три. Например, чтобы можно было построить треугольник по трем сторонам ,  и , необходимо (и достаточно) (см. Необходимые и достаточные условия), чтобы выполнялись три «неравенства треугольника»:

; ; .

Углы треугольника связаны более жестким соотношением:

 (или ).

Анализируя первый и второй признаки равенства - по , ,  или , , , - мы приходим к выводу о том, что остальные элементы треугольника , в частности сторона , однозначно определяются имеющимися тремя элементами. Для стороны  соответствующие формулы даются теоремами косинусов и синусов:

 и ,

где .

Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых замечательных точек и линий, простейшие из которых мы и рассмотрим. Три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке - центре описанной около треугольника окружности (рис. 2). Этот факт следует из свойства серединного перпендикуляра  к отрезку:  состоит из тех, и только тех, точек, которые равноудалены от концов отрезка. Если для треугольника  серединные перпендикуляры к  и  пересекаются в точке , то  и , поэтому  и точка  обязана лежать на серединном перпендикуляре к третьей стороне .

Рис. 2

Биссектрисы трех внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной в треугольник окружности (рис. 3). Это следует из основного свойства биссектрисы  выпуклого угла:  состоит из тех, и только тех, точек угла, которые равноудалены от его сторон. Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получается еще три замечательные точки - центры вневписанных окружностей (рис. 4).

Рис. 3

Рис. 4

Радиусы описанной, вписанной и вневписанной окружностей , , ,  и  связаны красивым соотношением

,

а расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей  можно найти по формуле Эйлера:

.

Здесь же приведем формулы для площади треугольника:

,

где  - полупериметр треугольника.

Среди свойств биссектрис треугольника выделяется такая теорема: биссектриса внутреннего (внешнего) угла  треугольника  делит противоположную сторону внутренним (внешним) образом в отношении, равном отношению прилежащих сторон; на рис. 5

.

Рис. 5

Все три медианы пересекаются в точке  (рис. 6), называемой центроидом треугольника  (который также является центром масс для тонкой треугольной пластины). Каждая медиана делится точкой  в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины треугольника. Высоты треугольника (или их продолжения) также пересекаются в одной точке  - ортоцентре треугольника (рис. 7).

Рис. 6

Рис. 7

Пусть высоты треугольника  пересекают соответственные стороны (или их продолжения) в точках , ,  (рис. 7). Треугольник  называется ортоцентрическим для треугольника  или, коротко, его ортотреугольником. Оказывается, высоты треугольника являются биссектрисами его ортотреугольника. Если треугольник  остроугольный, то ортотреугольник  вписан в треугольник : вершины  лежат на соответствующих сторонах треугольника . Справедлива замечательная теорема: среди всех треугольников, вписанных в остроугольный треугольник, ортотреугольник имеет наименьший периметр.

Теоремы о пересечении высот, медиан, биссектрис треугольника в действительности можно получить из общей «теоремы Чевы» (Д. Чева - итальянский математик, (1648-1734)): отрезки , , , соединяющие вершины треугольника  с точками на противолежащих сторонах (рис. 8), пересекаются в одной точке  тогда, и только тогда, когда

.

Рис. 8

ЗАДАЧА НАПОЛЕОНА

Французский император Наполеон Бонапарт был любителем математики. Он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из свидетельств тому - несколько составленных им геометрических задач.

Вот как можно сформулировать одну из них:

На сторонах произвольного треугольника  внешним образом построены как на основаниях равносторонние треугольники (рис. 1). Доказать, что центры этих треугольников также являются вершинами равностороннего треугольника.

Задача имеет довольно изящное решение. Пусть ,  и  центры равносторонних треугольников. Выполним дополнительное построение: соединим отрезками прямых точки ,  и  с ближайшими (к каждой из них) двумя вершинами треугольника  и между собой.

Рис. 1

По свойствам равностороннего (правильного) треугольника , , , и . Выделим шестиугольник , а внешние к нему невыпуклыс четырехугольники отбросим. Получим фигуру, изображенную на рис. 2.

Рис. 2

Отрезая теперь от упомянутого шестиугольника треугольники  и , перемещая их в плоскости в положение, которое указано на рис. 3, получаем четырехугольник . Отрезок  делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника. Углы  и  равны 120° каждый. Поэтому углы  и  равны 60° каждый. Следовательно, треугольник  равносторонний, что и требовалось доказать.

Рис. 3

Задача эта может послужить отправным пунктом для небольшого геометрического исследования. Проверьте, будут ли центры равносторонних треугольников, построенных внутренним образом на сторонах произвольного треугольника как на основаниях, являться вершинами равностороннею треугольника.