ТОПОЛОГИЯ

Топология - одна из математических наук, возникшая во второй половине XIX в. Она изучает тс свойства геометрических фигур, которые могут быть описаны с помощью понятия непрерывности.

Идеи топологии можно пояснить следующим образом. Отображение , переводящее фигуру в некоторую другую фигуру , непрерывно, если оно не имеет разрывов, т.е., грубо говоря, если «близкие» между собой точки фигуры переходят в результате этого отображения в «близкие» точки фигуры . Например, проектирование фигуры в плоскость (рис. 1) представляет собой непрерывное отображение (см. Геометрические преобразования). Приведем другой пример: если фигура , будто резиновая, произвольным образом без разрывов деформируется, изгибаясь, растягиваясь или сжимаясь, после чего деформированная фигура укладывается каким-то образом в фигуру (возможно, со склеиваниями, т.е. так, что различные части фигуры накладываются на одну и ту же часть фигуры ), то в результате мы получаем непрерывное отображение фигуры в фигуру .

Рис. 1

Отображение фигуры на всю фигуру называется гомеоморфизмом (от греческих слов homoios - «подобный», «одинаковый» и morphe - «вид», «форма»), если оно происходит без разрывов и без склеиваний, т.е. не только отображение , но и обратное отображение являются непрерывными. Например, буквы Г, Л, М, П, С (если они изображены тонкими линиями без «хвостиков») гомеоморфны между собой. Буквы Е, У, Т, Ч, Ш, Ц, Э также гомеоморфны между собой, но не гомеоморфны указанным ранее буквам. Буква О не гомеоморфна никакой другой букве русского алфавита. В качестве другого примера укажем, что треугольник, квадрат (и вообще любой выпуклый многоугольник) гомеоморфны кругу - углы многоугольника можно «вдавить» и сделать округлыми (рис. 2). Далее, поверхности шара, куба, цилиндра - все они гомеоморфны между собой. Однако эти поверхности не гомеоморфны тору - фигуре, которую можно наглядно представить себе как поверхность баранки или автомобильной шины. Поверхность гири гомеоморфна тору.

Рис. 2

Поучительно сравнить понятие гомеоморфизма и понятие равенства фигур. В геометрии рассматриваются отображения, сохраняющие расстояние между точками. Они называются движениями, или перемещениями. В результате движения каждая фигура перекладывается на новое место как твердое целое, без изменения расстояний. Две фигуры, которые переводятся одна в другую (совмещаются) с помощью движения, называются равными и рассматриваются как одинаковые, как не отличающиеся (с геометрической точки зрения) друг от друга. В топологии рассматриваются отображения более общие, чем движения, а именно гомеоморфные отображения. Две гомеоморфные между собой фигуры рассматриваются (с топологической точки зрения) как одинаковые, не отличающиеся друг от друга. Те свойства фигур, которые сохраняются при гомеоморфных отображениях, называются топологическими свойствами фигур; эти свойства и изучаются в топологии.

Одно из давно известных топологических свойств связано с именем Л. Эйлера. В топологии рассматриваются графы - фигуры, состоящие из конечного числа дуг. В графе имеется несколько вершин, и некоторые из них соединены непересекающимися дугами. Граф называется уникурсальным (или эйлеровым), если его можно «нарисовать одним росчерком», т.е. пройти его весь непрерывным движением, не проходя одно и то же ребро дважды. Свойство графа быть уникурсальным является топологическим свойством. Можно доказать, что граф в том, и только в том, случае уникурсален, если в каждой его вершине, кроме, может быть, двух, сходится четное число ребер. С уникурсальными графами связана «задача о кенигсбергских мостах», рассмотренная Эйлером. В то время в Кенигсберге (ныне г. Калининград) было 7 мостов через реку Преголь. Вопрос состоит в том, можно ли, прогуливаясь по городу, пройти через каждый мост точно по одному разу. Сопоставим с планом города граф, в котором вершина Л обозначает левый берег, П - правый берег, А и В острова, а ребра графа соответствуют мостам (рис. 3, вверху справа). В этом графе в каждой вершине сходится нечетное число ребер, и потому граф не уникурсален, т.е. требуемого маршрута прогулки не существует.

Рис. 3 «Топология, самая юная и самая мощная ветвь геометрии, наглядно демонстрирует плодотворное влияние противоречий между интуицией и логикой». Р. Курант

Еще одно интересное топологическое свойство графа - вложимость в плоскость. Один пример графа, невложимого в плоскость (домики и колодцы), строится следующим образом. На плоскости даны шесть точек (домики) и (колодцы); можно ли на плоскости провести тропинки от каждого домика к каждому колодцу, так чтобы никакие две тропинки не пересекались? Ответ отрицательный: если мы проведем все тропинки, кроме одной, то для последней тропинки уже не будет места на плоскости. Таким образом, этот граф невложим в плоскость. Другой пример графа, невложимого в плоскость, дан в правом нижнем углу рис. 3 (каждые две из пяти вершин соединены ребром); на этом рисунке два ребра пересекаются. Интересно отметить, что графы, о которых идет речь, являются «эталонами» графов, невложимых в плоскость: любой граф, невложимый в плоскость, содержит хотя бы один из них. Это было доказано польским математиком К. Куратовским (1896-1980).

ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ
(1896-1982)

П. С. Александров - один из создателей топологии - нового большого направления в современной математике, Герой Социалистического Труда (1969), лауреат Государственной премии СССР (1943), академик (1953).

П. С. Александров прожил большую и яркую жизнь. Он родился в семье врача, в г. Богородске (ныне Ногинск) Московской области. Уже к 14 годам он нашел в математике свое призвание, но, кроме того, очень хорошо знал и любил литературу (особенно поэзию), театр, музыку.

В 1913 г. П. С. Александров становится студентом математического отделения Московского университета. На следующий год он впервые встречается с представителем нового в те годы теоретико-множественного направления - Н. Н. Лузиным и сразу становится его близким учеником. Уже через год, в 19 лет, П. С. Александров, решая задачу, поставленную Н. Н. Лузиным, доказывает теорему о мощности так называемых борелевских множеств и сразу выдвигается в первые ряды московских математиков. Следующая предложенная ему Н. Н. Лузиным задача - так называемая континуум-проблема (см. Множество) - была одной из труднейших математических задач того времени. Относительно неудачная попытка ее решить (как стало ясно в дальнейшем, континуум-проблема и не могла быть решена в круге идей и методов школы Лузина) заставила П. С. Александрова усомниться в своих математических способностях. Он становится режиссером в театре, заведует театральной секцией отдела народного образования, читает лекции по литературе и музыке. Но этот период - лишь краткий эпизод в жизни П. С. Александрова: уже в 1921 г. он возвращается в Московский университет, чтобы никогда его не покидать.

Самый плодотворный период в жизни П. С. Александрова период, когда он вместе с П. С. Урысоном создает основы топологии. В 1921-1924 гг. ими сделан фундаментальный вклад в основы теоретико-множественной топологии; в 1925-1926 гг. П. С. Александров создает теорию гомологий общих топологических пространств, позволившую применить алгебраические методы к задачам теоретико-множественной топологии. За эти работы П. С. Александрова в 1929 г. избирают в члены-корреспонденты Академии наук СССР. С 1929 г. П. С. Александров - профессор Московского университета, а с 1932 г. - президент Московского математического общества. Впоследствии ученый разработал гомологическую теорию размерности, окончательно закрепившую за Александровым репутацию одного из первых математиков тех лет.

Павлу Сергеевичу Александрову принадлежит заслуга в создании научной школы. Человек огромного личного обаяния, высочайшей разносторонней культуры, он обладал способностью буквально притягивать к себе молодых талантливых людей.

Если же граф вложим в плоскость, то он разбивает плоскость на областей, где К - число связных кусков, из которых состоит граф, В - число его вершин, а Р - число ребер. Это одна из важных формул, доказываемых в топологии графов.

Из топологических свойств, связанных с поверхностями, упомянем два. Первое из них (теорема Эйлера) утверждает, что для связного графа, начерченного на сфере (или гомеоморфной ей поверхности), справедливо равенство

где В - число вершин, Р - число ребер графа, а Г - число областей (граней), на которые этот граф разбивает сферу. В частности, это соотношение справедливо для любого выпуклого многогранника.

Другой пример - «теорема о еже»: если из каждой точки поверхности сферы растет «колючка» (ненулевой вектор) и направления «колючек» от точки к точке меняются непрерывно, то найдется хотя бы одна «колючка», направленная перпендикулярно к сфере. Иначе говоря, причесать такого «сферического ежа», чтобы он нигде не кололся, невозможно.

ЛЕВ СЕМЕНОВИЧ ПОНТРЯГИН
(1908-1988)

Л. С. Понтрягин - советский математик, академик. Герой Социалистического Труда. Академик П. С. Александров так отозвался о бывшем своем ученике: «Л. С. Понтрягин, уже ранее зарекомендовавший себя несколькими блестящими работами...выступает как ученый, создавший свое собственное направление в математике и являющийся в настоящее время, бесспорно, самым крупным (в международном масштабе) представителем так называемой топологической алгебры, то есть совокупности вопросов, пограничных между алгеброй и топологией».

Не прост был путь Л. С. Понтрягина в математику. В 14 лет вследствие несчастного случая он лишился зрения. Лишь благодаря своей воле, мужеству и упорному труду он сумел успешно окончить школу и поступить на физико-математический факультет Московского университета. В эти трудные дни мать стала ему незаменимым помощником, читала вслух учебники и научные статьи.

Посещая семинар П. С. Александрова, он увлекся топологическими проблемами, которым посвятил многие годы своего научного творчества. В 1938 г. он написал труд «Непрерывные группы», за который ему была присуждена Государственная премия. Почти сразу же книгу издали за рубежом.

В начале 50-х гг. Л. С. Понтрягин и его ученики обратились к новому направлению исследований, связанному с математическим решением некоторых технических проблем. Вскоре ими был открыт «принцип максимума», ставший универсальным и действенным математическим средством поиска оптимальных режимов для тех или иных процессов: для наивыгоднейшего расходования топлива при запуске ракеты, для наиболее экономичной работы ядерного реактора, для наилучшей схемы электропривода и т.д. Вначале «принцип максимума» был лишь гипотезой. Доказать ее удалось ученикам Л. С. Понтрягина: в линейном случае доказательство было найдено Р. В. Ганкрелидзе, а в общем случае В. Г. Болтянским. Открытие «принципа максимума» привело к созданию новой области математики теории оптимального управления. В 1961 г. Л. С. Понтрягин и его ученики обобщили свои достижения в новой монографии, удостоенной Ленинской премии.

Сильная тренированная память, справлявшаяся с громоздкими формулами и выражениями, позволяла Л. С. Понтрягину успешно выполнять глубокие теоретические исследования, не прибегая к бумаге. Им опубликовано свыше 150 работ. В 1958 г. его избрали академиком.

За плодотворную научную деятельность Л. С. Понтрягину присвоено звание Героя Социалистического Труда, он награжден четырьмя орденами Ленина, а также другими орденами и медалями.

Научную деятельность Л. С. Понтрягин сочетал с активным интересом к преподаванию. Его учебник по дифференциальным уравнениям, не раз издававшийся в СССР и за рубежом, удостоен Государственной премии. Специально для школьников он написал несколько книг из серии «Знакомство с высшей математикой».

Разумеется, все это лишь отдельные наглядные примеры топологических фактов. В наши дни топология - большая, обстоятельная наука, в которой изучаются глубинные свойства геометрических фигур. Проблема четырех красок (см. Комбинаторика, Графы), узлы, зацепления (рис. 4-6), природа линий и поверхностей и многое другое изучается в топологии. Даже так называемая основная теорема алгебры (см. Многочлен) является в действительности топологической теоремой. Современная топология находит ряд интересных и важных приложений в других разделах математики, в физике, например в электротехнике, в теории жидких кристаллов, в молекулярной биологии, в космогонии и т.д.

Рис. 4. Схема морского узла.

Для того, чтобы определить степень сцепления двух узлов, вводится понятие коэффициента зацепления. На рис. 5 он равен 0, а на рис. 6 -1.

Рис. 5

Рис. 6