ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА

Про числа 25, 49, 100 говорят, что они являются квадратами. А почему? Потому что они получаются, если возвести числа 5, 7 и 10 в квадрат. Но имеет ли это название какое-нибудь отношение к геометрической фигуре - квадрату? Посмотрим на рис. 1. Солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты. Число солдат внутри такого квадрата легко подсчитать - нужно умножить их число вдоль горизонтальной стороны на число солдат вдоль вертикальной стороны (заметим, что эти числа равны), и получится общее количество солдат внутри квадрата.

Рис. 1

В древности вычислители часто считали с помощью камешков и, естественно, отмечали случаи, когда камешки можно было сложить в виде правильной фигуры. Кроме квадратных чисел были известны треугольные числа, которые получаются так, как это показано на рис. 2 в верхней его части. Нетрудно заметить, что -е квадратное число равно , а -е треугольное число равно сумме всех целых чисел от 1 до , т.е.  (см. Арифметическая прогрессия).

Рис. 2

Пятиугольные числа изображены на рис. 2. Чтобы сосчитать -е пятиугольное число, его нужно разбить на три треугольных, после чего останется еще  точек, как показано на рисунке. В результате получаем, что -е пятиугольное число равно .

Подобным образом можно образовывать любые многоугольные числа. Формула для -го -угольного числа такова:

.

При  мы получаем треугольные числа, при  - квадратные и т.д.

Аналогично можно представить число в виде прямоугольника. Для числа 12 это можно сделать многими способами (рис. 2), а для числа 13 - лишь расположив все предметы в одну линию. Такое число древние не считали прямоугольным. Таким образом, прямоугольными числами являются все составные числа, а непрямоугольными - простые числа.

К фигурным числам также относятся пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидой, как раньше складывали ядра около пушки. Нетрудно заметить, что -е пирамидальное число равно сумме всех треугольных чисел - от первого до -го. Формула для вычисления -го пирамидального числа имеет вид

.