ФИБОНАЧЧИ ЧИСЛА

Имя Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанского) - крупного итальянского математика, автора «Книги об абаке» (1202), которая несколько веков оставалась основным хранилищем сведений по арифметике и алгебре, сейчас встречается чаще всего в связи с замечательной числовой последовательностью 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ….

Эта последовательность определяется условиями: , ,  (для каждого натурального ). Ее члены называются числами Фибоначчи. Они возникают в самых разных математических ситуациях - комбинаторных, числовых, геометрических.

Если вы любите отыскивать числовые закономерности в живой природе, то заметите, что эти числа часто встречаются в различных спиральных формах, которыми так богат мир растений; черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями:  полного оборота - у орешника,  - у дуба,  - у тополя и груши,  - у ивы; чешуйки на еловой шишке, ячейки на ананасе и семена подсолнечника расположены спиралями, причем количества спиралей каждого направления также, как правило, числа Фибоначчи.

На рис. 1 числа Фибоначчи выражают длины сторон спиральной последовательности квадратов на клетчатой бумаге. Из этого рисунка нетрудно получить такое равенство:  (для любого ). Это и другие любопытные соотношения между числами Фибоначчи, такие, как

;

;

,

можно доказать методом математической индукции.

Рис. 1

Много интересного в арифметике чисел Фибоначчи. Каждое третье число Фибоначчи четно, каждое четвертое делится на три, каждое пятнадцатое оканчивается нулем, и вообще для каждого  числа Фибоначчи, делящиеся на , встречаются периодически. Два соседних числа Фибоначчи взаимно просты;  делится на  тогда и только тогда, когда  делится на .

При детальном исследовании свойств делимости чисел Фибоначчи выясняется особая роль числа 5, например: если простое число  имеет вид , то  делится на , а если  имеет вид , то  делится на .

Число 5 участвует и в приведенной ниже формуле Бине (французский ученый Ж. Вине, 1786-1856), выражающей  как функцию от номера :

.

Из этой формулы следует, что  растет примерно как геометрическая прогрессия со знаменателем

,

точнее,  равно ближайшему целому числу к .

Формулу Бине можно доказать по индукции или с помощью производящей функции для последовательности Фибоначчи:

.

Выражение для -го члена в виде суммы нескольких геометрических прогрессий, аналогичное формуле Бине, можно написать и для других последовательностей, определяемых соотношением . Знаменатели этих прогрессий находятся как корни так называемого характеристического многочлена . Например, для последовательности Фибоначчи характеристический многочлен равен . В общем случае надо использовать не только вещественные, но и комплексные корни многочлена (а если к тому же у него какой-то корень  имеет кратность , то кроме геометрической прогрессии  в сумму могут входить еще последовательности  - тогда общее число членов в сумме будет всегда равно ).

 

Пусть через один такт времени красная клетка превращается в зеленую, а та в свою очередь через один такт делится на две - красную и зеленую. Тогда число клеток каждого поколения можно выразить числом Фибоначчи

Уже в нашем веке были найдены новые свойства и применения чисел Фибоначчи. Среди них - самый быстрый способ отыскания экстремума для функции  с двумя промежутками монотонности  и  (т.е. с одним экстремумом): оказывается, в наилучшем плане поиска точки экстремума , состоящего из  шагов, участвуют числа Фибоначчи .