ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ

Теория вероятностей – наука о вычислении вероятностей случайных событий.

Основные объекты изучения теории вероятностей: 1) случайное событие и его вероятность; 2) случайная величина и ее функция распределения; 3) случайный процесс и его вероятностная характеристика. Например, задачи, которые возникают из ситуаций, обычных на телефонной станции: а) какова вероятность того, что на станцию за время  поступят  вызовов от абонентов? б) Какова вероятность того, что длительность ожидания соединения с нужным абонентом окажется большей, чем заданное число ? в) Как со временем изменяется очередь на соединение? Какие закономерности появления вызовов во времени? Эти задачи показывают, что именно практика приводит к необходимости вводить математические понятия и изучать их. В задаче а) речь идет о вероятности наступления случайного события; в задаче б) – о разыскании функции распределения случайной величины (длительности ожидания); в задачах в) рассматриваются случайные процессы, связанные с обслуживанием абонентов.

Основой теории вероятностей является понятие вероятности случайного события. Интуитивно ясное понятие случайного события (появления данного числа вызовов на телефонной станции, выпадения грани 5 при бросании игральной кости и т.д.) формализуется. В современной теории вероятностей принят следующий подход. Рассматривается исходное множество – множество элементарных событий . Далее выбираются подмножества этого множества. Например, при бросании игральной кости множество элементарных событий состоит из шести элементов (1, 2, 3, 4, 5, 6) – когда кость падает сторонами, обозначенными числами 1, 2, ..., 6. В качестве подмножеств рассматриваем возможности выпадения одной из двух граней  или ; или из трех граней , или , или ; ...; или выпадение одной из граней 1, или 2, или 3, …, или 6. Это последнее событие наступает при любом бросании кости, и поэтому оно называется достоверным. И в любом случае в качестве одного из подмножеств берется все множество. Оно наступает при любом испытании и является достоверным событием. Остальные подмножества являются случайными событиями. Множество  случайных событий (множество выбранных подмножеств ) не произвольно, а должно обладать следующими свойствами: наряду с событиями  и  в него входят также события  или , а также  и . Событие  или  называется суммой событий  и  и обозначается символом , или символом . Событие  и  носит название пересечения (или произведения) событий  и  и обозначается символом  (или символом ). Требования, наложенные на множество случайных событий, позволяют заключить, что в это множество входит еще одно событие, называемое невозможным. Оно получается каждый раз, когда рассматривается , но события  и  составлены из разных элементарных событий. В примере с бросанием игральной кости если выбрать , а , то событию  не соответствует ни один исход бросания кости. Это невозможное событие. Оно обозначается символом .

События  и  называются несовместными, если ; иными словами, если события  и  не содержат в своем составе ни одного общего элемента (элементарного события). Определим теперь на множестве  неотрицательную функцию: каждому случайному событию  поставим в соответствие число ; для функции  должны быть выполнены два дополнительных свойства: 1) если  и  несовместны, то ; 2) если  - достоверное событие, то . Легко проверить, что классическая вероятность является как раз такой функцией. Величина  называется вероятностью события . Соотношение 1) носит наименование теоремы сложения вероятностей; она входит в состав трех простейших соотношений, позволяющих вычислять вероятности сложных событий по заданным вероятностям простых.

Два требования, наложенные на вероятность события, позволяют получить большое число следствий: а) вероятность невозможного события равна 0; б) каковы бы ни были события  и , .

При определении вероятности случайного события всегда предполагается, что выполнен некоторый комплекс условий: игральная кость правильная, т.е. плотность вещества, из которого она сделана, постоянна, а ее форма является идеальным кубом. Таким образом, каждая вероятность является условной. Однако принято эту первичную совокупность условий считать само собой разумеющейся, никак не отмечать ее наличие и просто писать  - вероятность события , предполагая при этом, что указанный комплекс условий выполнен. Если же помимо этого комплекса условий известно, что осуществилось еще некоторое условие , то в этом случае говорят об условной вероятности события  при условии и обозначают . Пусть событие  состоит в том, что при бросании игральной кости выпадет не более четырех очков. Вероятность этого события равна . Если нам стало известно событие  - число выпавших очков оказалось большим двух, то тогда могли выпасть лишь очки 3, 4, 5 или 6. Благоприятствуют интересующему нас событию лишь два из четырех, значит, . Вообще говоря, условная вероятность  не равна безусловной , однако могут быть случаи, когда . В этом случае говорят, что событие  независимо от события .

Найдем вероятность события . Чтобы произошло событие нужно, во-первых, чтобы произошло событие , а во-вторых, чтобы наступило событие  при условии, что событие  наступило.

Рассмотрим классическую схему вероятности. Имеется  элементарных равновероятных событий. Событию  благоприятствуют какие-то  из них, событию  благоприятствует  и  - событию . Согласно определению . Но первый множитель правой части этого равенства равен , а второй – вероятность события  при условии, что  наступило. Таким образом, . Точно такими же рассуждениями доказываем, что . Из этих равенств, носящих название теоремы умножения вероятностей, вытекает, во-первых, что если  независимо от , то и  независимо от . Во-вторых, следует равенство .

Для общего определения вероятности равенство  служит определением условной вероятности. Ясно, что и в этом случае имеет место теорема умножения, которая является второй основной теоремой.

Третьей основой вычислений в теории вероятностей служит так называемая формула полной вероятности. Пусть события  попарно несовместны и пусть событие  наступает только в том случае, когда происходит одно из событий . В этом случае имеет место равенство .

Отсюда .

В развитии теории вероятностей важную роль играла и продолжает играть так называемая схема Бернулли. Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых может произойти событие  с одной и той же в каждом из испытаний вероятностью  и не произойти с вероятностью . Вероятность того, что при этом событии  появится ровно  раз, а событие  (не )  раз, вычисляется по формуле

.

При больших  вычисления по этой формуле довольно сложны и технически трудны; для этого обычно используют приближенную формулу (локальную теорему Муавра-Лапласа), согласно которой

.

В теоретических и прикладных задачах часто приходится находить суммы вида . При больших ,  и  такие вычисления требуют значительных усилий. Для их приближенного вычисления используется интегральная теорема Муавра - Лапласа, согласно которой

, , .

Обе теоремы дают очень высокую точность. Они относятся к так называемым предельным теоремам теории вероятностей.

Швейцарский математик Я. Бернулли (1654-1705) обнаружил фундаментальный факт теории, получивший название закона больших чисел в форме Бернулли. Пусть  обозначает число появлений события  в  независимых испытаниях, в каждом из которых событие  наступает с вероятностью .

Каково бы ни было число , имеет место соотношение

,

т.е. что вероятность отклонения частоты  появления события от  вероятности этого события больше, чем на , стремится к 0.

Наряду со случайными событиями в теории вероятностей и ее применениях рассматривают случайные величины. Представим себе, что при каждом наблюдении некоторая величина принимает какое-то значение в зависимости от случая; например, число космических частиц, попадающих за данный промежуток времени на определенную площадку поверхности; число обрывов пряжи, изготовленной из хлопка определенного сорта и заданного номера, при испытаниях на разрыв. Таких примеров можно привести сколько угодно.

Случайные величины различаются как теми значениями, которые они способны принимать, так и вероятностями, с которыми эти значения принимаются. Так, число вызовов от абонентов на телефонной станции за промежуток времени  может быть любым целым числом: 0, 1, 2, … . Как показывают многочисленные наблюдения, вероятность того, что число вызовов окажется равным , согласуется с формулой , где  - некоторая положительная постоянная.

Скорость молекулы газа также случайна и может принимать любые значения. Этих значений столько же, сколько положительных чисел. Как в этом случае задавать вероятности этих значений? Математики пошли по такому пути: стали определять не вероятность каждого из возможных значений, а вероятность того, что случайная величина  примет значение меньшее, чем заданное значение . Функция  получила наименование функции распределения случайной величины . Из теоремы сложения легко вывести следующее важное равенство: , позволяющее по функции распределения определять вероятность выполнения указанного неравенства.

АНДРЕЙ АНДРЕЕВИЧ МАРКОВ (1856-1922) А. А. Марков русский математик, представитель петербургской математической школы. Он родился в Рязани. В 1874 г. поступил на физико-математический факультет Петербургского университета, где под влиянием П. Л. Чебышева занялся теорией непрерывных дробей и теорией чисел. В 1884 г. Марков защитил докторскую диссертацию, посвященную непрерывным дробям, в которой доказал и обобщил некоторые неравенства Чебышева, опубликованные раньше без доказательств. Маркову принадлежат также многочисленные работы по различным разделам математического анализа. В 1890 г. за глубокие научные исследования Марков был избран академиком Петербургской академии наук. С конца 90-х гг. XIX в. главным предметом исследований ученого стала теория вероятностей. Здесь он продолжил работу своего учителя П. J1. Чебышева и ввел новый объект исследования – последовательности зависимых случайных величин, получившие в дальнейшем название марковских цепей. Так называют последовательности случайных величин, для которых вероятность появления того или иною значения на -м шагу зависит лишь от того, какое значение эта величина приняла на -м шагу, и не зависит от значений величины на 1-м, 2-м, ..., -м шагах. Марковские цепи сразу после их открытия не нашли практических приложений, и ученому пришлось применять свои результаты к распределению гласных и согласных букв в поэме А. С. Пушкина «Евгений Онегин». Ведь за согласной чаще идет гласная, а за гласной – согласная, и в первом приближении можно считать, что вероятность появления гласной на -м месте зависит лишь от того, гласной или согласной является буква, стоящая на -м месте. Но, как всегда бывает с глубокими научными результатами, в дальнейшем были обнаружены гораздо более важные для практики области приложения марковских цепей (например, теория массового обслуживания). Из теории марковских цепей возникла общая теория случайных процессов, которая применяется при изучении лавинных процессов и других проблем. А. А. Марков был страстным и убежденным борцом против произвола и несправедливости царского режима, выступал против попыток подчинить преподавание математики в школе религиозным взглядам. Он отказался от царских орденов, подал в Синод просьбу об отлучении от церкви, указав в ней, что не сочувствует всем религиям, которые, подобно православию, поддерживаются огнем и мечом и сами служат им. Резкие выпады против веры в чудеса содержатся в учебнике А. А. Маркова «Исчисление вероятностей», опубликованном в дореволюционное время. После выхода книги ученого обвинили в безбожии и «подрыве основ». От преследований его избавил лишь крах царского режима.

В теории вероятностей и ее применениях важную роль играют числовые характеристики случайных величин – математическое ожидание и дисперсия. Мы дадим их определение для дискретных случайных величин. Пусть  - возможные значения случайной величины  и  - вероятности этих значений, тогда сумма

называется математическим ожиданием , а  - дисперсией .

П.Л. Чебышев доказал закон больших чисел в очень общей форме, а именно: пусть  - последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями  и дисперсиями , ограниченными одной и той же величиной , тогда для любого положительного  выполняется

.

Вторая предельная теорема получила наименование теоремы Ляпунова, или центральной предельной теоремы: если случайные величины  независимы, имеют конечные математические ожидания  и дисперсии , то при дополнительном условии равномерной малости отдельных слагаемых имеет место:

,

где .

Эта теорема является значительным обобщением интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

В нашем веке в связи с физическими, биологическими, инженерными и другими исследованиями возникла необходимость рассматривать случайные процессы , т.е. случайные функции от одного независимого переменного , под которым обычно понимается время.

Теория случайных процессов в наши дни является одним из основных математических средств изучения явлений реального мира.

Первые задачи теории вероятностей были рассмотрены Л. Пачоли (1445-ок. 1514), Д. Кардано (1501-1576), Н. Тарталья (ок. 1499-1557), Б. Паскалем (1623-1662), П. Ферма (1601-1665), X. Гюйгенсом (1629-1695). В качестве самостоятельной научной дисциплины теория вероятностей стала оформляться в работах Я. Бернулли (1654-1705), А. Муавра (1667-1754), П. Лапласа (1749-1827), С. Пуассона (1781-1840). Ее последующее развитие связано с именами П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ляпунова (1857-1918), А. Я. Хинчина (1894-1959), С. Н. Бернштейна (1880-1968), А. Н. Колмогорова (1903-1987) и других.