ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ

Цепная линия - одна из тех плоских кривых, которые мы повседневно наблюдаем, возможно не задумываясь об их форме. Свое название цепная линия получила из-за того, что любая цепочка или любая гибкая тяжелая нерастяжимая струна, закрепленная на концах, является частью цепной линии, как, например, провод электропередачи.

Для записи уравнения цепной линии в качестве оси ординат выбирают ее ось симметрии. Тогда при соответствующем выборе оси абсцисс (рис. 1) уравнение цепной линии примет вид

.

Рис. 1

Эта функция выражается через одну из элементарных функций, а именно .

Второе замечательное свойство цепной линии обнаружил в 1744 г. Л. Эйлер. Он искал такую кривую, проходящую через две заданные точки, чтобы поверхность вращения ее вокруг заданной прямой имела бы наименьшую площадь по сравнению с площадями поверхностей, полученных вращением других кривых, проходящих через эти точки. Оказалось, что такой кривой является цепная линия; соответствующая поверхность была названа катеноидом (цепеобразной). Именно такую форму принимает мыльная пленка, если ее натянуть на два кольца, расположенных на одной оси (рис. 2).

Рис. 2