ЦИКЛОИДА

Циклоида (от греческого слова kykloeides - «кругообразный») - плоская кривая. Первые исследования циклоиды проводил в XVI в. итальянский физик и астроном Г. Галилей. Позднее этой же замечательной кривой занимались другие блестящие умы: французский физик и математик Б. Паскаль, нидерландский механик, физик и математик XVII в. X. Гюйгенс, французский философ и математик Р. Декарт.

Циклоида - кривая, которую описывает точка  окружности, катящейся без скольжения по некоторой прямой в той же плоскости (рис. 1). Эту окружность называют порождающей. Описывающая циклоиду точка совершает сложное движение: с одной стороны, она, как и все другие точки катящейся окружности, имеет составляющую скорости в направлении качения окружности, с другой - составляющую по касательной к окружности, поскольку, как и все другие точки окружности, равномерно вращается вокруг ее центра. Величины обеих скоростей равны, поэтому результирующий вектор скорости  находится как диагональ ромба . Нетрудно показать, что перпендикуляр к результирующему вектору, проходящий через точку , пересекает порождающую окружность в точке  ее касания с прямой, по которой она катится, сама же касательная, на которой находится результирующий вектор, проходит через точку  порождающей окружности, диаметрально противоположную точке .

Рис. 1

У циклоиды масса любопытнейших свойств. Оказывается, например, что циклоида является кривой наибыстрейшего спуска. Иначе говоря, скатываясь по снежной горке, профиль которой выполнен в виде циклоиды, мы окажемся у основания горки быстрее, чем в случае другой формы горки. Кроме того, циклоида является такой кривой, по которой должна двигаться тяжелая материальная точка, чтобы период ее колебаний не зависел от амплитуды колебаний. Используя это свойство, X. Гюйгенс сконструировал часы, изображенные на рис. 2. Любопытно, что траектория конца маятника, как и ограничивающие его боковые «щеки», представляет из себя циклоиду.

Рис. 2

Уравнение циклоиды:

.