ЦИЛИНДР

Цилиндром называют фигуру, которая получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Слово «цилиндр» происходит от греческого kylindros, что означает «валик», «каток». Рассматривают также цилиндрические поверхности, составленные из всех прямых пространства, параллельных данной прямой (оси) и удаленных от нее на данное расстояние. Составляющие цилиндрическую поверхность прямые называются ее образующими. Конечно, все образующие получаются из одной вращением вокруг оси, и цилиндр можно определить как часть пространства, ограниченную цилиндрической поверхностью и двумя перпендикулярными ее оси плоскостями (рис. 1). Полное наименование такого цилиндра - прямой круговой цилиндр. В пересечении прямой круговой цилиндрической поверхности с плоскостью, не параллельной оси, может получиться либо окружность, либо эллипс (рис. 1).

Рис. 1

Наряду с прямыми круговыми рассматривают еще и так называемые обобщенные цилиндры и цилиндрические поверхности. Пусть дана плоская фигура  (рис. 2). Параллельные между собой отрезки  равной длины, проведенные через все точки  фигуры  по одну сторону от ее плоскости, заполняют некоторую пространственную фигуру, которую и называют обобщенным цилиндром с основанием  и образующими . Если  - круг, а образующие  перпендикулярны плоскости , то как раз и получится прямой круговой цилиндр. Другой частный случай обобщенного цилиндра - призма. Она получается, если  - многоугольник.

Объем любого цилиндра вычисляется по формуле , где  - площадь основания , а  - высота, т.е. расстояние между плоскостями основания  и получающегося из  параллельным переносом на вектор  второго основания .

Рис. 2

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг - геометрия». Ле Корбюне.

Если через все точки  плоской замкнутой кривой  провести параллельные между собой, но не лежащие в плоскости  прямые , то получится обобщенная цилиндрическая поверхность с направляющей  и образующими  (рис. 3). Если  - окружность, а образующие  перпендикулярны плоскости , то получится уже знакомая прямая круговая цилиндрическая поверхность. Если  - замкнутая ломаная (граница многоугольника), то получится призматическая поверхность.

Рис. 3

Интересно, что объем пространственного тела, ограниченного цилиндрической поверхностью и любыми двумя пересекающими ее ось в точках  и  плоскостями (печной трубы, рис. 4), можно вычислить по формуле , где  - площадь перпендикулярного образующим сечения.

Рис. 4

Уравнение поверхности цилиндра, у которого ось параллельна одной из координатных осей, не содержит переменной, соответствующей этой оси. Так, уравнение поверхности прямого кругового цилиндра имеет вид: .