ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Рассмотрим два зубца хорошо всем известного профиля пилы. Направим ось  вдоль ровной стороны пилы, а ось  - перпендикулярно к ней. Получим график некоторой функции, изображенный на рис. 1.

Рис. 1

Совершенно очевидно, что и в точке , и в точке  значения функции оказываются наибольшими в сравнении со значениями в соседних точках справа и слева, а в точке  - наименьшим в сравнении с соседними точками. Точки  называются точками экстремума функции (от латинского extremum - «крайний»), точки  и  - точками максимума, а точка  - точкой минимума (от латинских maximum и minimum - «наибольший» и «наименьший»).

Уточним определение экстремума.

Говорят, что функция  в точке  имеет максимум, если найдется интервал, содержащий точку  и принадлежащий области определения функции, такой, что для всех точек  этого интервала оказывается . Соответственно функция  в точке  имеет минимум, если для всех точек некоторого интервала выполняется условие .

На рис. 2 и 3 приведены графики функций, имеющие в точке  экстремум.

Рис. 2

Рис. 3

Обратим внимание на то, что по определению точка экстремума должна лежать внутри промежутка задания функции, а не на его конце. Поэтому для функции, изображенной на рис. 1, нельзя считать, что в точке  она имеет минимум.

Если в данном определении максимума (минимума) функции заменить строгое неравенство на нестрогое  , то получим определение нестрогого максимума (нестрогого минимума). Рассмотрим для примера профиль вершины горы (рис. 4). Каждая точка  плоской площадки - отрезка  является точкой нестрогого максимума.

Рис. 4

В дифференциальном исчислении исследование функции на экстремумы очень эффективно и достаточно просто осуществляется с помощью производной. Одна из основных теорем дифференциального исчисления, устанавливающая необходимое условие экстремума дифференцируемой функции, - теорема Ферма (см. Ферма теорема). Пусть функция  в точке  имеет экстремум. Если в этой точке существует производная , то она равна нулю.

На геометрическом языке теорема Ферма означает, что в точке экстремума касательная к графику функции горизонтальна (рис. 5). Обратное утверждение, разумеется, неверно, что показывает, например, график на рис. 6.

Рис. 5

Рис. 6

Теорема названа в честь французского математика П. Ферма, который одним из первых решил ряд задач на экстремум. Он еще не располагал понятием производной, но применял при исследовании метод, сущность которого выражена в утверждении теоремы.

Достаточным условием экстремума дифференцируемой функции является смена знака производной. Если в точке  производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. ее убывание сменяется возрастанием, то точка  будет точкой минимума. Напротив, точка  будет точкой максимума, если производная меняет знак с плюса на минус, т.е. переходит от возрастания к убыванию.

Точка, где производная функции равна нулю, называется стационарной. Если исследуется на экстремум дифференцируемая функция, то следует найти все ее стационарные точки и рассмотреть знаки производной слева и справа от них.

Исследуем на экстремум функцию .

Найдем ее производную: .

Определяем стационарные точки: , , . Нетрудно заметить, что в интервалах между стационарными точками знак производной не изменяется, на каждом из интервалов он отмечен на рис. 7. Используя достаточное условие экстремума, можно сделать заключение: в точке  экстремума нет; точка  - точка максимума; точка  - точка минимума.

Рис. 7

Находим значения функции в точках экстремума: , . График функции показан на рис. 8.

Рис. 8

Заметим, что возможны случаи, когда экстремум достигается в точке, в которой производная не существует. Таковы точки экстремума у профиля пилы, пример такой функции дан и на рис. 1.

Задачи на максимум и минимум имеют важнейшее значение в физике, механике, различных приложениях математики. Они были теми задачами, которые привели математику к созданию дифференциального исчисления, а дифференциальное исчисление дало мощный общий метод решения задач на экстремум с помощью производной.