КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Квадратным называют алгебраическое уравнение 2-й степени, т.е. уравнение вида

, где .              (1)

Выражение  называют дискриминантом квадратного трехчлена .

Уравнение (1) имеет два корня:

.

При этом если , то корни действительные и различные, при  корни совпадают (говорят, что уравнение имеет корень кратности два), при  корни комплексные (комплексно сопряженные).

Для приведенного квадратного уравнения

формула корней имеет вид

,

а для уравнения  (с четным коэффициентом при ) – вид

.

Для коэффициентов и корней квадратного уравнения (1) выполняются соотношения:

Эти соотношения называют теоремой Виета, по имени французского математика Ф. Виета (1540-1603).

Особенно удобна эта теорема для приведенного квадратного уравнения:

, .

Уравнения 2-й степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н. э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. Приведем задачу из китайского трактата «Математика в девяти книгах» (приблизительно II в. до н.э.).

«Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу (1 бу = 1,6 м) от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу прямо, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?» Обозначим сторону квадрата через . Из подобия треугольников  и  (рис. 1) получим

.

Рис. 1

Поэтому, чтобы определить неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение

.

В данном случае уравнение имеет вид

,

откуда  (бу).

Отрицательных корней (в данном случае ) китайские математики не рассматривали, хотя в этом же трактате содержатся операции с отрицательными числами.

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский ученый ал-Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений видна из рис. 2 (он рассматривает уравнение ). Площадь большого квадрата равна . Она складывается из площади  фигуры, закрашенной голубым цветом, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырех квадратов со стороной , равной 25. Таким образом,

; ; ; .

Рис. 2

К квадратным уравнениям сводятся многие уравнения путем замены переменной. Приведем некоторые примеры.

1. Биквадратное уравнение

сводится к квадратному заменой  переменной .

2. Уравнение  заменой  сводится к квадратному уравнению , корни которого , . Из двух уравнений  и  действительные решения имеет только первое: .

3. Уравнения

, ,

сводятся к квадратным заменами соответственно ,  и .

4. Уравнение

сводится к квадратному уравнению заменой

 (здесь ; ; , ).

Из получаемых уравнений

 и

корни имеет только второе: . Вообще, замена  - одна из наиболее часто встречающихся замен. Например, с помощью такой замены к квадратному уравнению (после деления обеих частей уравнения на ) сводится уравнение вида

.                   (2)

Уравнение (2) обычно называют возвратным или обобщенно – симметрическим.

5. Однородные уравнения

 и  сводятся к квадратным уравнениям относительно  заменами соответственно  и  после деления обеих частей первого уравнения на , второго – на . Для второго уравнения предварительно проверяется, удовлетворяют ли уравнению те значения , для которых .

6. Уравнение

,

«симметричное» относительно , сводится к биквадратному уравнению  заменой ; аналогично уравнение , «симметричное» относительно , сводится к биквадратному уравнению  заменой . Отметим, что для второго уравнения годится и замена , тогда ; .