Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН

Так называют многочлен, определяемый формулой  . Числа  и  - коэффициенты квадратного трехчлена, они обычно называются:  - старший,  - второй или средний коэффициент,  - свободный член. Функция вида  называется квадратичной функцией.

После линейной функции квадратичная функция – простейшая и важнейшая элементарная функция. Многие физические зависимости выражаются квадратичной функцией; например, камень, брошенный вверх со скоростью , находится в момент времени  на расстоянии

от земной поверхности (здесь  - ускорение силы тяжести); количество тепла , выделяемого при прохождении тока в проводнике с сопротивлением , выражается через силу тока  формулой .

Простейший частный случай квадратичной функции есть функция . На рис. 1 изображены графики функций  при разных значениях . График функции  называется параболой.

135-1.jpg

Рис. 1

У всех этих парабол вершина находится в начале координат; при  это наинизшая точка графика (наименьшее значение функции), а при , наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось  есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Как видно, при  парабола направлена вверх, при  - вниз.

Существует простой и удобный графический способ, позволяющий строить любое число точек параболы  без вычислений, если известна точка параболы, отличная от вершины. Пусть точка  лежит на параболе  (рис. 2). Если мы хотим построить между точками  и  дополнительно еще  точек, то делим отрезок  оси абсцисс на  равных частей и в точках деления проводим перпендикуляры к оси . На столько же равных частей делим отрезок  и точки деления соединяем лучами с началом координат. Искомые точки параболы лежат на пересечении перпендикуляров и лучей с одинаковыми номерами (на рис. 2 число точек деления равно 9).

135-2.jpg

Рис. 2

График функции  отличается от графика  лишь своим положением и может быть получен просто перемещением кривой на чертеже. Это следует из представления квадратного трехчлена в виде

,

откуда легко заключить, что график функции  есть парабола , вершина которой перенесена в точку

,

а ось ее симметрии осталась параллельной оси  (рис. 3). Из полученного выражения для квадратного трехчлена легко следуют все его основные свойства. Выражение  называют дискриминантом квадратного трехчлена  и дискриминантом связанного с ним квадратного уравнения . От знака дискриминанта зависит, пересекает ли график квадратного трехчлена ось абсцисс или лежит по одну сторону от нее. Именно, если , то парабола не имеет общих точек с осью , при этом: если , то парабола лежит выше оси , а если , то ниже этой оси (рис. 4). В случае  график квадратного трехчлена пересекает ось абсцисс в двух точках  и , которые являются корнями квадратного уравнения  и равны соответственно

, .

При  парабола касается оси  в точке .

135-3.jpg

Рис. 3

136.jpg

Рис. 4

Свойства квадратного трехчлена лежат в основе решения квадратных неравенств. Поясним это на примере. Пусть требуется найти все решения неравенства . Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: . Так как , то соответствующее квадратное уравнение  имеет два различных корня, они определяются по формулам, приведенным ранее:

 и .

В рассматриваемом квадратном трехчлене , значит, ветви его графика направлены вверх и значения квадратного трехчлена отрицательны лишь в интервале между корнями. Итак, все решения неравенства удовлетворяют условию

.

К квадратным неравенствам могут быть сведены разнообразные неравенства теми же самыми заменами, какими различные уравнения сводятся к квадратному.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>