КУБКуб, или гексаэдр (шестигранник), - прямоугольный параллелепипед с равными измерениями, один из видов правильных многогранников. Ею легко склеить из развертки (рис. 1). Куб – единственный из правильных многогранников, которым можно замостить пространство, прикладывая один кубик к другому. Именно поэтому объем куба с единичным ребром принят за единицу объема. Удивительным образом куб связан с четырьмя другими видами правильных многогранников. Так, центры граней куба являются вершинами октаэдра и, наоборот, центры граней октаэдра суть вершины куба (рис. 2). Рис. 1 Рис. 2 В куб можно вписать правильный тетраэдр – его вершинами являются концы скрещивающихся диагоналей двух параллельных граней куба (рис. 3). Остальные четыре вершины куба служат вершинами второго вписанного тетраэдра. Рис. 3 Куб можно вписать в додекаэдр так, что ребра куба будут диагоналями граней додекаэдра (рис. 4). Ребром вписанного в додекаэдр куба может быть любая из пяти диагоналей какой-нибудь грани додекаэдра, так что в додекаэдр указанным образом можно вписать 5 одинаковых кубов. Наконец, на каждой из шести граней куба можно выбрать по паре точек гак, что 12 выбранных точек будут вершинами икосаэдра, рис. 5 (выделенные отрезки лежат на гранях куба). Рис. 4 Рис. 5 Среди прочих примечательных свойств куба отметим, что в точности четыре его сечения являются правильными шестиугольниками – эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырем его диагоналям (рис. 6). Рис. 6 Куб – пространственный аналог квадрата на плоскости. Особую четкость эта аналогия приобретает, если привлечь координаты. Квадрат на плоскости можно задать неравенствами , , и его вершины будут иметь координаты , , и . В координатном пространстве куб задается неравенствами , , ; его 8 вершин имеют координаты , , , , , , и . Квадрат имеет 4 стороны, лежащие на прямых , , и . Куб имеет 6 (плоских, или двумерных) граней, лежащих в плоскостях, задаваемых уравнениями , , , , и . Эту аналогию можно продолжить в две стороны. Одномерный аналог куба и квадрата – это, конечно, отрезок оси . Четырехмерный же куб в четырехмерном пространстве, точки которого понимают как всевозможные (упорядоченные) четверки чисел , задается системой неравенств , , , . Четырехмерный куб, или гиперкуб, имеет уже 16 вершин (точек с координатами , где и могут равняться 0 или 1) и 8 трехмерных граней, каждая из которых представляет собой обычный (трехмерный) куб, все 8 вершин которого удовлетворяют одному из уравнений: , , , , , , и . Двумерных граней у гиперкуба 24 – это квадраты, у вершин которых зафиксированы (равны 0 или 1) уже две координаты (из четырех). Наконец, ребер, одномерных граней, у гиперкуба 32. Аналогично тому, как обычный куб имеет плоскую – двумерную – развертку (рис. 1), гиперкуб может быть «развернут» в трехмерном пространстве. Эта развертка будет состоять из 8 трехмерных граней – обычных кубов – и может быть изображена так, как показано на рис. 7. В четырехмерном пространстве каждый из кубов развертки граничит с шестью другими. На рис. 8 дан плоский чертеж трехмерного «изображения» гиперкуба (само это изображение легко соорудить из спичек и пластилина). Пространственную проекцию гиперкуба можно представить и изготовить по плоскому чертежу на рис. 9. Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9
|