ЛОГАРИФМ

Логарифмом числа  по основанию  (обозначается ) называется показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число , т.е. , если .

Логарифм определен для любого положительного числа  при любом отличном от единицы положительном основании . Каждому положительному числу при данном основании соответствует единственный логарифм.

По определению логарифма справедливо равенство

,

из которого на основе свойств показательной функции устанавливаются основные свойства логарифмов (здесь  и  – положительные числа):

                     (1)

Эти свойства позволяют сводить умножение и деление чисел (представленных в виде степеней некоторого числа, принятого за основание) к сложению и вычитанию показателей степеней, а возведение в степень и извлечение корня – к  умножению и делению на показатель степени, поэтому применение логарифмов упрощает выполнение умножения и деления. На этом основан очень популярный прежде счетный прибор логарифмическая линейка, которая сейчас всюду вытесняется микрокалькуляторами.

При нашей десятичной системе счисления самым удобным основанием является число 10. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается :

.

При основании, равном 10, только логарифмы целых степеней числа 10 представляются целыми числами , логарифмы же остальных чисел нецелые. Целая часть значения логарифма называется характеристикой, дробная мантиссой.

Любое положительное число  всегда можно представить в виде , где  - целое число, а  заключено в пределах от 1 до 10. Из этого представления числа  следует, что , где  - характеристика, a  – мантисса логарифма числа .

Для числа, большего единицы, характеристика на единицу меньше числа цифр у целой части этого числа. Для числа, заключенного между нулем и единицей и записанного десятичной дробью, характеристика отрицательна и равна взятому со знаком минус числу нулей до первой значащей цифры, например для числа 0,0216 его характеристика равна .

Десятичные логарифмы используются в практике главным образом в силу исторической традиции. Гораздо более важными в математике и ее приложениях являются натуральные логарифмы, т.е. логарифмы с основанием . Это число, к которому неограниченно приближаются числа вида  при неограниченном возрастании числа . Буквой  это число предложил назвать Л. Эйлер. Важность логарифмической функции с основанием объясняется тем, что в математике используется показательная функция, как правило, с основанием , а поэтому важна и обратная к ней функция.

Логарифмы были введены шотландским математиком Дж. Непером (1550-1617) и независимо от него швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552-1632). Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620 г.), и первой в 1614 г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов».

Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены изобретательным и остроумным вычислителем, английским математиком Г. Брипсом (1561-1630).

На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 г.