МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗВЛЕЧЕНИЯ

Математические развлечения – это и решение занимательных задач, и геометрические построения, и разгадывание числовых и механических головоломок, и математические игры и фокусы. Они развивают математические способности, сообразительность, логическое мышление, укрепляют память. Математические развлечения объединяют учение и игру, труд и отдых, но для занятия ими нужны и воля, и упорство, и настойчивость в достижении цели.

Задачи-головоломки известны с давних времен, они встречаются уже в египетских папирусах. С I в. н.э. известна задача, получившая название задачи Иосифа Флавия, римского историка. Легенда рассказывает, что однажды отряд воинов, среди которых находились Флавий и его друг, был окружен. Из всех уставших, выбившихся из сил воинов, отчаявшихся спастись, нужно было выбрать двоих, которые предприняли бы попытку найти выход из окружения. Флавий предложил выбрать этих двоих путем пересчета так, чтобы каждый третий выбывал из построенных в круг воинов. Счет продолжался до тех пор, пока не осталось только два человека. Это были мудрый Флавий и его друг. На какие места в круге они встали, если в отряде был 41 воин? Древняя рукопись сообщает: на 16-е и 31-е.

Игра «крестики-нолики» - одна из древнейших, ее знают все. В квадрате, разделенном на девять клеток, игроки по очереди ставят в свободную клетку свой знак: крестик или нолик, стараясь выстроить три крестика или три нолика подряд. Тот, кто первым сделает это, выигрывает.

Если не делать ошибок, то игра оканчивается вничью, выиграть можно только в том случае, если противник ошибется. Самый правильный первый ход – занять угловую клетку. И если партнер не ответит на это своим знаком в центре, то он проиграл.

Гораздо интереснее усложненный вариант «крестиков-ноликов» - игра «пять в ряд». На листке клетчатой бумаги двое играющих по очереди ставят крестики и нолики. Выигрывает игрок, который первым выставит пять своих знаков подряд по вертикали, горизонтали или диагонали. Размеры поля игры не ограничиваются.

Издавна играют в игру «ним». Пусть имеется одна или несколько групп предметов. Играющие по очереди берут предметы из групп по правилам, которые заранее устанавливают: какое количество предметов разрешается брать за один раз и из скольких групп. Существует множество вариантов игры, и для большинства известна наилучшая стратегия, ведущая к выигрышу. Наличие самих предметов не обязательно, можно играть и с числами.

Двое называют по очереди любое число от 1 до 10 и складывают названные числа. Выигрывает тот, кто первым доведет до 100 сумму чисел, названных обоими игроками. Оптимальная стратегия в этой игре состоит в том, чтобы после хода противника называть числа, дающие, в сумме с предыдущими, члены следующего ряда: 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100.

С древности до наших дней очень популярны головоломки-шутки, они учат внимательно относиться к каждому слову условия задачи. Вот одна из них: в кармане лежат две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты?

Задача основана на психологической особенности человеческого восприятия – запоминать главные факты из условия задачи. В данном случае – то, что монета в кармане не пятак. И начинаются безуспешные попытки решения. А правильный ответ: 10 коп. и 5 коп., так как в условии задачи сказано, что только одна монета не пятак.

В старинной задаче «Волк, козел и капуста» крестьянину нужно перевезти через реку волка, козла и капусту. Лодка так мала, что в ней кроме крестьянина может поместиться или только волк, или только козел, или только капуста. Но если оставить волка с козлом, то волк его съест, а если оставить козла с капустой, то будет съедена капуста. Как быть крестьянину?

Головоломки типа этой задачи называются комбинаторными (см. Комбинаторика). В таких головоломках требуется путем взаимной перестановки элементов расположить их в соответствии с условием задачи в определенном порядке.

В случае с крестьянином переправу нужно начать с перевозки козла. Затем крестьянин возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег и там оставляет, но везет обратно на первый берег козла. Здесь он оставляет его и перевозит к волку капусту. А затем, возвращаясь, перевозит козла.

К комбинаторным головоломкам относится и знаменитый венгерский кубик Рубика, и полимино, и игры типа «Игра 15», а также задачи «на маневрирование», головоломки с перестановкой шашек, «Ханойская башня» и др.

О Ханойской башне существует легенда, согласно которой где-то в глубине джунглей в буддийском храме находится пирамида, состоящая из 64 золотых дисков. День и ночь жрецы храма заняты разбором этой пирамиды. Они переносят золотые диски на новое место, строго соблюдая следующие правила: за один раз разрешается переносить только один диск и нельзя ни один диск класть на меньший диск. Предание гласит, что, как только жрецы закончат работу, грянет гром, храм рассыплется в пыль и наступит конец света.

Количество перемещений дисков, которые должны сделать жрецы, вычисляется по формуле , где  – число дисков. Предположим, что жрецы работают так быстро, что за одну секунду переносят один диск. Тогда на всю работу им понадобится , или около 580 млрд. лет. За это время храм, действительно, может рассыпаться в пыль.

Рис. 1 Головоломка «Ханойская башня». Перенесите кольцо с левой оси на правую по правилам, изложенным в индийской легенде, не более чем за 31 ход.

Не менее интересное занятие, чем комбинаторные головоломки, - разгадывание арифметических ребусов, в которых нужно восстановить недостающие цифры. Для игр-головоломок со спичками совсем не обязательно иметь спички, их можно заменить прутиками или черточками на бумаге или земле. Задачи на разрезание относятся к геометрическим головоломкам. Их удобно решать, вычертив предполагаемые фигуры на листке клетчатой бумаги.

Самые древние геометрические головоломки – это головоломки на складывание геометрических фигур из отдельных кусочков. Уже сами названия этих головоломок: «Пифагор», «Колумбово яйцо», «Архимедова игра» - говорят об их древности. Эти игры легко сделать самому, вырезав их из картона.

Рис. 2 «Пифагор» - головоломка на складывание фигур.

Топологические головоломки тоже одни из самых древних. К ним относятся всем известные лабиринты, проволочные, шнурковые и объемные сборно-разборные головоломки.

Удивительной для непосвященных кажется способность человека отгадывать задуманное другим число. Но если вы узнаете секреты математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать новые.

Вы просите товарища задумать любое число, затем отнять от него 1, результат умножить на 2, из произведения вычесть задуманное число и сообщить вам результат. Прибавив к нему число 2, вы отгадаете задуманное. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения , где  – задуманное число. Раскрыв скобки и выполнив действия, мы получим, что это выражение равно .

Можно угадать результат арифметических действий над неизвестным числом, например, так. Ваш товарищ задумал число. Вы просите умножить его на 2, затем прибавить к произведению 12, сумму разделить пополам и вычесть из нее задуманное число. Какое бы число ни было задумано, результат всегда будет равен 6, так как  при любом .

На рис. 3 изображен «волшебный веер». С его помощью можно отгадать любое задуманное число от 1 до 31. Вы просите указать, на каких лепестках веера написано задуманное число, а затем в уме складываете числа, стоящие под столбцами на этих лепестках. Их сумма всегда будет равна задуманному числу.

Рис. 3 «Волшебный веер» для отгадывания задуманных чисел.

В наше время большую популярность получили логические задачи-головоломки. Вот пример решения такой задачи.

Три мальчика, устав от игр, прилегли отдохнуть под деревом и уснули. Пока они спали, их товарищи испачкали им сажей лбы. Проснувшись и взглянув друг на друга, мальчики начали смеяться. Внезапно один из них замолчал, так как понял, что его лоб тоже испачкан. Он подумал: «Мы смеемся, потому что каждый из нас считает, что его лицо чистое. Но если мое лицо чистое, то Коле должен быть непонятен смех Андрея. Раз Андрей смеется, а мое лицо чистое, то он смеется над Колей. Коля должен это понять и перестать смеяться. А раз он не перестает, значит, мой лоб тоже в саже».

Попробуйте ответить на вопрос еще одной логической головоломки.

Если головоломка, которую вы разгадали перед тем, как вы разгадали эту, была труднее, чем головоломка, которую вы разгадали после того, как вы разгадали головоломку, которую вы разгадали перед тем, как вы разгадали эту, то была ли головоломка, которую вы разгадали перед тем, как вы разгадали эту, труднее, чем эта? Ответ: да.

Рис. 4 Головоломка с перемещением шашек. Переместите черную шашку в крайнюю левую клетку, используя свободные боковые поля. На это требуется не менее 28 перемещений шашек.

Рис. 5 Задача на маневрирование. Сколько раз нужно перевести стрелку, чтобы поменять местами вагоны, если через туннель может проходить только паровоз? Решения: 1-14 перемещений.

МАТЕМАТИКА НА ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

Шахматы не только популярная игра, но и источник множества интересных математических задач. Не случайно шахматные термины можно встретить в литературе по комбинаторике, теории графов, кибернетике, теории игр, программированию на электронных вычислительных машинах. Расскажем о нескольких математических задачах на шахматной доске.

Нумерация рисунков идет в порядке их расположения.

Задача 1. Обойти конем все поля доски, посетив каждое из них по одному разу.

Этой задачей занимались многие математики XVIII и XIX вв., в том числе и Л. Эйлер. Хотя задача была известна и до Эйлера, лишь он впервые обратил внимание на ее математическую сущность. Неизвестно до сих пор, сколько всего существует маршрутов, хотя доказано, что число их не больше 30млн. Придумано много методов построения маршрутов коня, установлены различные математические закономерности. Приведем три маршрута. На рис. 1, 2 они изображены графически (каждые два соседних поля маршрута соединены отрезком), а на рис. 3 поля маршрута последовательно пронумерованы от 1 до 64. Маршруты на рис. 1, 3 замкнутые (исходное и конечное поля связаны ходом коня), а маршрут на рис. 2 открытый. Маршрут на рис. 3 образует полумагический квадрат 8x8 (сумма чисел на любой вертикали и на любой горизонтали равна числу 260, а на главных диагоналях отлична от этого числа, см. Магические и латинские квадраты) и, кроме того, обладает необычайной симметрией – при повороте доски на 180° первая половина маршрута (от 1 до 32) превращается во вторую (от 33 до 64).

Задачи о маршрутах составлены и для других фигур. На рис. 4 изображен кратчайший замкнутый маршрут ферзя по всей доске, занимающий 14 ходов.

Задача 2. Сколькими способами можно расставить на доске восемь ферзей так, чтобы они не угрожали друг другу, т.е. никакие два из них не стояли бы на одной линии (вертикали, горизонтали или диагонали)?

Найти ту или иную расстановку несложно, труднее подсчитать их общее число. Доказано, что существует 92 требуемые расстановки, причем они получаются из 12 основных поворотами и зеркальными отражениями доски. Одно из решений задачи представлено на рис. 5.

Подобные задачи ставятся для всех шахматных фигур. Сначала выясняется, какое наибольшее число фигур не угрожает на доске друг другу, а затем – сколько имеется расстановок. Ладей, как и ферзей, можно расставить максимум восемь (всего  расстановок), например, их можно поставить на те же поля, что и ферзей на рис. 5. Максимальное число не угрожающих друг другу слонов равно 14 – рис. 6 (256 расстановок), коней – 32 (две расстановки, на всех белых или на всех черных полях), королей – 16 – рис. 7 (281 571 расстановка).

Другой класс задач на расстановки связан с расположением минимального числа фигур так, чтобы они держали под ударом все свободные поля доски. Для этой цели достаточно взять пять ферзей (рис. 8), восемь ладей (их можно поставить на те же поля, что и ферзи на рис. 5), восемь слонов (рис. 9), двенадцать коней (рис. 10), девять королей (рис. 11). Не обо всех фигурах известно, сколько существует необходимых расстановок.

Для охраны доски меньшим, чем пять, числом фигур не обойтись, однако их состав можно «ослабить», заменив двух ферзей ладьями или даже ладьей с королем или слоном (рис. 12).