МАТРИЦА
Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел.
Располагать те или иные данные в виде прямоугольных таблиц приходится довольно часто. Например, если три завода выпускают пять различных видов продукции, то отчет о производстве за год может быть дан в виде таблицы
,
где
– количество продукции
-го вида, выпущенное
-м заводом в течение этого года. Кратко будем обозначать эту таблицу
и назовем ее прямоугольной матрицей с тремя строками и пятью столбцами. Аналогично определяется понятие прямоугольной матрицы с
строками и
столбцами (или, короче,
-матрицы). При
такую матрицу называют квадратной, а число
- порядком этой матрицы.
Если ассортимент продукции не изменился в течение следующего года, то отчет о производстве за второй год тоже имеет вид матрицы
. Но тогда выпуск продукции за два года выражается матрицей
. Вообще, при сложении двух
-матриц складываются соответствующие элементы этих матриц. Если же в течение второго года производство каждого вида продукции на каждом заводе увеличилось на 20%, то для любых
верно равенство
. В этом случае пишут
. Чтобы умножить матрицу
на число
, надо умножить на это число каждый элемент матрицы.
Выпуск продукции можно выражать не только в штуках, метрах или тоннах, но и в рублях. Для этого надо знать цену каждого вида продукции. Поскольку она может меняться от года к году, обозначим через
цену
-го вида продукции в
-й год. Эти цены можно записать в виде
-матрицы
, где
-число видов продукции и
- число лет. Например, при
имеем матрицу
.
Выпуск продукции
-м заводом за
-й год, выраженный в рублях, составит величину
, (1)
где каждое слагаемое есть произведение величины выпуска соответствующего вида продукции в выбранных единицах на стоимость единицы этой продукции в рублях. Числа
образуют матрицу
с
(у нас
) строками и
(у нас
) столбцами. Такую матрицу принято называть произведением матриц
и
:
.
Итак, если
является
-матрицей, а
-
-матрицей, то их произведением называют
-матрицу
, состоящую из элементов, определяемых по формуле (1). При умножении квадратных матриц
-го порядка снова получается квадратная матрица
-го порядка.
Особую роль играет матрица 
,
у которой вдоль диагонали из верхнего левого угла в правый нижний стоят единицы, а остальные элементы равны нулю; для любой квадратной матрицы
имеем:
, т.е. она играет роль единицы. Если определитель квадратной матрицы
отличен от нуля, то существует обратная ей матрица
, такая, что
. Возникает матричная алгебра, в которой верны многие правила обычной алгебры, например
,
и т.д. Однако умножение не является коммутативным, т.е., вообще говоря,
.
Впервые матрицы встретились в математике в связи с решением систем линейных уравнений. С системой уравнений
(2)
связаны матрица
, составленная из коэффициентов этих уравнений, и расширенная матрица, получаемая добавлением к матрице
столбца свободных членов. Операции, производимые при решении системы уравнений (2), можно выполнять непосредственно над расширенной матрицей. Такую запись решения применяли древнекитайские математики во II в. до н.э., а в европейской науке матричная запись систем линейных уравнений применяется с XIX в.
В наши дни теория матриц находит обширные приложения в вычислительной математике, физике, экономике и других областях науки.