МАТРИЦА

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел.

Располагать те или иные данные в виде прямоугольных таблиц приходится довольно часто. Например, если три завода выпускают пять различных видов продукции, то отчет о производстве за год может быть дан в виде таблицы

,

где  – количество продукции -го вида, выпущенное -м заводом в течение этого года. Кратко будем обозначать эту таблицу  и назовем ее прямоугольной матрицей с тремя строками и пятью столбцами. Аналогично определяется понятие прямоугольной матрицы с  строками и  столбцами (или, короче, -матрицы). При  такую матрицу называют квадратной, а число  - порядком этой матрицы.

Если ассортимент продукции не изменился в течение следующего года, то отчет о производстве за второй год тоже имеет вид матрицы . Но тогда выпуск продукции за два года выражается матрицей . Вообще, при сложении двух -матриц складываются соответствующие элементы этих матриц. Если же в течение второго года производство каждого вида продукции на каждом заводе увеличилось на 20%, то для любых  верно равенство . В этом случае пишут . Чтобы умножить матрицу  на число , надо умножить на это число каждый элемент матрицы.

Выпуск продукции можно выражать не только в штуках, метрах или тоннах, но и в рублях. Для этого надо знать цену каждого вида продукции. Поскольку она может меняться от года к году, обозначим через  цену -го вида продукции в -й год. Эти цены можно записать в виде -матрицы , где -число видов продукции и  - число лет. Например, при  имеем матрицу

.

Выпуск продукции -м заводом за -й год, выраженный в рублях, составит величину

,                (1)

где каждое слагаемое есть произведение величины выпуска соответствующего вида продукции в выбранных единицах на стоимость единицы этой продукции в рублях. Числа  образуют матрицу  с  (у нас ) строками и  (у нас ) столбцами. Такую матрицу принято называть произведением матриц  и :

.

Итак, если  является -матрицей, а  - -матрицей, то их произведением называют -матрицу , состоящую из элементов, определяемых по формуле (1). При умножении квадратных матриц -го порядка снова получается квадратная матрица -го порядка.

Особую роль играет матрица

,

у которой вдоль диагонали из верхнего левого угла в правый нижний стоят единицы, а остальные элементы равны нулю; для любой квадратной матрицы   имеем: , т.е. она играет роль единицы. Если определитель квадратной матрицы  отличен от нуля, то существует обратная ей матрица , такая, что . Возникает матричная алгебра, в которой верны многие правила обычной алгебры, например ,  и т.д. Однако умножение не является коммутативным, т.е., вообще говоря, .

Впервые матрицы встретились в математике в связи с решением систем линейных уравнений. С системой уравнений

                   (2)

связаны матрица , составленная из коэффициентов этих уравнений, и расширенная матрица, получаемая добавлением к матрице  столбца свободных членов. Операции, производимые при решении системы уравнений (2), можно выполнять непосредственно над расширенной матрицей. Такую запись решения применяли древнекитайские математики во II в. до н.э., а в европейской науке матричная запись систем линейных уравнений применяется с XIX в.

В наши дни теория матриц находит обширные приложения в вычислительной математике, физике, экономике и других областях науки.