МНОГОГРАННИК

Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому как многоугольники – простейшие фигуры на плоскости. Многогранные формы мы видим ежедневно: спичечный коробок, книга, комната, многоэтажный дом (с горизонтальной крышей) – прямоугольные параллелепипеды; молочные пакеты-тетраэдры или тоже параллелепипеды; граненый карандаш, гайка дают представление о призмах (впрочем, параллелепипед – это тоже четырехугольная призма). Многие архитектурные сооружения или их детали представляют собой пирамиды или усеченные пирамиды – такие формы имеют знаменитые египетские пирамиды или башни Кремля. Многие многогранные формы, например «домик» на рис. 1 и «круглый дом» на рис. 2, не имеют специальных названий. С чисто геометрической точки зрения многогранник – это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками – гранями. Стороны и вершины граней называют ребрами и вершинами самого многогранника. Грани образуют так называемую многогранную поверхность. Чтобы исключить из рассмотрения многогранные фигуры типа изображенных на рис. 3, которые не принято называть многогранниками, на многогранную поверхность обычно накладывают такие ограничения:

1) каждое ребро должно являться общей стороной двух, и только двух, граней, называемых смежными;

2) каждые две грани можно соединить цепочкой последовательно смежных граней;

3) для каждой вершины углы прилежащих к этой вершине граней должны ограничивать некоторый многогранный угол.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней. Это условие эквивалентно каждому из двух других: 1) отрезок с концами в любых двух точках многогранника целиком лежит в многограннике, 2) многогранник можно представить как пересечение нескольких полупространств.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера (см. Топология), устанавливающая связь между числом вершин В, ребер Р и граней Г:

.

Для невыпуклых многогранников это соотношение, вообще говоря, неверно, например для многогранной поверхности, изображенной на рис. 2; , , поэтому . Число  называется эйлеровой характеристикой многогранника и может равняться . Эйлерова характеристика показывает, грубо говоря, сколько «дырок» имеет многогранник. Число дырок  (или ).

Простейшая классификация по числу вершин (углов, сторон) для многогранников неэффективна. Самые простые многогранники – четырехвершинники или четырехгранники – всегда ограничены четырьмя треугольными гранями. Но уже пятигранники могут быть совершенно разных типов, например: четырехугольная пирамида ограничена четырьмя треугольниками и одним четырехугольником (рис. 4,а), а треугольная призма ограничена двумя треугольниками и тремя четырехугольниками (рис. 4,б). Примеры пятивершинников – четырехугольная пирамида и треугольный диэдр (рис. 4,в).

Рис. 4

Самые распространенные в окружающем нас мире многогранники, конечно, имеют специальные названия. Так, -угольная пирамида имеет -угольник в основании и  боковых треугольных граней, сходящихся в общей вершине треугольников (рис. 4,а, где ); -угольная призма ограничена двумя равными, параллельными и одинаково расположенными -угольниками – основаниями – и  параллелограммами – боковыми гранями, соединяющими соответственные стороны оснований (рис. 4,б, где ).

Промежуточное положение между пирамидами и призмами занимают усеченные пирамиды, получающиеся из пирамид отсечением меньших пирамид параллельными основаниям плоскостями (рис. 5). Среди природных форм кристаллов встречаются диэдры, или бипирамиды, составленные из двух пирамид с общим основанием (рис. 4,в). Архимед рассматривал также -угольные антипризмы, ограниченные двумя параллельными, но повернутыми друг относительно друга -угольниками и соединяющими их, как показано на рис. 6, -треугольниками (при большом  антипризма похожа на пионерский барабан — рис. 6).

Рис. 5

Рис. 6

Как и многоугольники, многогранники классифицируют также по степени их симметричности. Среди пирамид выделяют правильные: в основании у них лежит правильный многоугольник, а высота – перпендикуляр, проведенный из вершины к плоскости основания,- попадает в центр основания пирамиды.

Аналогом параллелограмма является параллелепипед; так же как параллелограмм, параллелепипед имеет центр симметрии, в котором пересекаются и делятся пополам все четыре диагонали (отрезки, соединяющие вершины, не принадлежащие одной грани). Правильные призмы в основаниях имеют правильные многоугольники, расположенные так, что прямая, проходящая через их центры, перпендикулярна плоскостям оснований. Так же должны быть расположены и основания правильной -угольной антипризмы, но только одно основание должно быть повернуто на угол  относительно другого. Все правильные многогранники имеют довольно много самосовмещений – поворотов и симметрий, переводящих многогранник в себя. Совокупность всех самосовмещений, считая и тождественное, образует так называемую группу симметрий многогранника. По группам симметрий в кристаллографии классифицируют монокристаллы, имеющие, как правило, многогранную форму.

Симметричность, правильность рассмотренных выше многогранников не совсем полные – у них могут существовать неравные грани, разные многогранные углы. Исключение составляют три многогранника: правильный тетраэдр – правильная треугольная пирамида с равными ребрами, ограниченная четырьмя правильными треугольниками (рис. 7,а); куб, или правильный гексаэдр, - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами (рис. 7,б); наконец, октаэдр – правильный четырехугольный диэдр с равными ребрами, ограниченный восемью правильными треугольниками (рис. 7,в); октаэдр можно определить и как правильную треугольную антипризму с равными ребрами. В отличие от произвольных правильных пирамид, призм, диэдров и антипризм – тетраэдр, куб, октаэдр таковы, что любые их две грани (и любые два многогранных угла) можно совместить с помощью некоторого самосовмещения всего многогранника. Кроме того, их многогранные углы правильные, т.е. имеют равные плоские и равные двугранные углы.

Рис. 7

Аналогично правильным многоугольникам на плоскости можно определить и правильные многогранники «вообще»: это выпуклые многогранники, ограниченные равными правильными многоугольниками и имеющие равные правильные многогранные углы. Оказывается, кроме трех названных выше видов правильных многогранников – правильного тетраэдра, куба и октаэдра – существуют еще только два вида правильных многогранников: додекаэдр (двенадцатигранник) и икосаэдр (двадцатигранник), ограниченные соответственно 12 правильными пятиугольниками и 20 правильными треугольниками, - рис. 8,а,б. Эти два многогранника связаны между собой так же, как куб и тетраэдр (см. Куб): центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра – рис. 9, - и наоборот.

Рис. 8

Рис. 9

Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен – ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много.

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XIII книга знаменитых «Начал» Евклида. Эти многогранники часто называют также Платоновыми телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр – огонь, куб – землю, икосаэдр – воду и октаэдр – воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его по-латыни стали называть quinta essentia («пятая сущность»). Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было нетрудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб – монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов . Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр, нетрудно построить и икосаэдр: как уже говорилось, его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра – рис. 9.