МНОГОУГОЛЬНИК

Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной , не имеющей точек самопересечения, называется многоугольником или -угольником (). Звенья ломаной – отрезки  – называются сторонами, точки  – вершинами, углы между лучами, проведенными из каждой вершины в соседние, - углами многоугольника (рис. 1).

Рис. 1

Общим свойством -угольников является неизменность суммы их (внутренних) углов:

.

С древних времен многоугольники принято классифицировать и называть соответственно степени их симметричности, правильности. Среди треугольников выделяют равнобедренные (с одной осью симметрии) и равносторонние, или правильные (с тремя осями симметрии) (рис. 2). Четырехугольники, имеющие центр симметрии, называют параллелограммами. Конечно, такое определение эквивалентно школьному: параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Четырехугольник, у которого две стороны (основания) параллельны, а две другие (боковые стороны) не параллельны, именуют трапецией.

Рис. 2

Можно доказать, что больше одного центра симметрии многоугольник иметь не может, а вот осей симметрии может быть любое число. Четырехугольники с единственной осью симметрии бывают двух видов: равнобедренные (или равнобокие) трапеции и дельтоиды (или ромбоиды) (рис. 3). Параллелограммы, имеющие оси симметрии, подразделяются на ромбы (параллелограммы с равными сторонами), прямоугольники (параллелограммы с равными - прямыми - углами) и квадраты (ромбы с прямыми углами или прямоугольники с равными сторонами); осей симметрии у них 2 или 4 (рис. 4).

Рис. 3

Рис. 4

При произвольном  рассматривают правильные -угольники: у них все стороны и все (внутренние) углы равны. Правильный -угольник можно получить, разделив окружность на  равных дуг и соединив соседние точки деления (рис. 5). Центр этой (описанной) окружности называется центром правильного -угольника; через него проходят  осей симметрии -угольника.

Рис. 5

Если при данном  соединить не соседние, а следующие через  дуг точки деления окружности, где , то проведенные  хорд образуют фигуру, которую обозначают символом . На рис. 6 и 7 изображены пентаграмма  и октаграмма .

Рис. 6

Рис. 7

Еще в глубокой древности была поставлена практическая задача построения правильного -угольника  с помощью циркуля и линейки (см. Геометрические построения). Построения  и  очень просты и показаны на рис. 8. Конечно, построение  эквивалентно делению окружности на  равных дуг. Дугу легко разделить пополам, построив биссектрису соответствующего центрального угла, поэтому по правильному -угольнику легко построить -угольник, затем -угольник и, вообще,  при любом . Следовательно, предыдущие построения дают возможность построить две серии правильных -угольников: при  и , где , - а общую задачу построения  достаточно решить лишь для нечетных .

Рис. 8

Евклид в своих «Началах» кроме построения двух указанных серий многоугольников приводит построения правильных пятиугольника и пятнадцатиугольника (а вместе с ними еще двух серий : для  и . Построение пятиугольника или десятиугольника сводится к так называемому «золотому сечению» отрезка. Ясно, что для построения  достаточно по известному радиусу описанной окружности  построить сторону  десятиугольника. Рассматривая один из десяти треугольников со сторонами ,  и углами , , из которых составлен десятиугольник, после проведения биссектрисы  (рис. 9), из подобия треугольников  и  и равенства отрезков  получаем пропорцию , которая с античных времен называется «золотой». Она показывает, что точка  делит отрезок  так, что большая часть относится к меньшей так же, как весь отрезок к большей части. Такое деление отрезка и называют «золотым сечением». Пропорция записывается как уравнение

,

из которого

.

Рис. 9

Конечно, по отрезку  легко построить и отрезок  (рис. 10), а затем и . Короткое построение дано на рис. 11: отрезок  дает сторону правильного десятиугольника,  – пятиугольника, вписанных в окружность с центром .

Рис. 10

Рис. 11

Поскольку построение  эквивалентно построению угла в , а углы  и  мы уже умеем строить, то по ним строится и угол , а значит, и правильный пятнадцатиугольник.

Прошло более двух тысячелетий, прежде чем евклидов список -угольников удалось пополнить. Это сделал в 1796 г. немецкий математик К. Ф. Гаусс: используя алгебраические идеи, он дал построение правильного семнадцатиугольника и доказал невозможность построения с помощью только циркуля и линейки правильных -угольников при  и 9. Отметим, что построение правильного девятиугольника давало бы угол в , а вместе с ним и угол в , т. е. трисекцию угла в 60°, которую невозможно осуществить циркулем и линейкой (см. Классические задачи древности). Более того, К. Ф. Гаусс доказал, что построение  при нечетном  осуществимо тогда, и только тогда, когда  является простым числом вида  или произведением нескольких таких различных чисел, называемых числами Ферма. В настоящее время, как и несколько веков назад, известно только 5 простых чисел Ферма: , , ,  и . (П. Ферма, чьим именем названы эти числа, полагал, что все они простые, однако Л. Эйлер указал, что число Ферма .) Построение правильного 257-угольника, занимающее около полусотни страниц, описал сам Гаусс.

ПАРКЕТЫ ИЗ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Самый простой, но и самый скучный паркет получается, если плоскость разбить на равные квадраты так, как показано на рис. 1,а. Здесь два квадрата имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек. Столь же просты паркеты из правильных треугольников и шестиугольников (рис. 1,б и 1,в).

Рис. 1

Паркетом будем называть такое покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.

Вероятно, вам случалось видеть паркет, составленный из правильных восьмиугольников и квадратов (рис. 2,а) Красивый паркет можно составить из правильных шестиугольников, квадратов и равносторонних треугольников (рис. 2,б).

Рис. 2

Паркет производит приятное впечатление, если он достаточно симметричен. Фигура называется симметричной, если ее можно наложить на саму себя не «тривиальным» способом (т.е. не таким, когда все точки останутся на своем месте).

Например, на рис. 2,б, повернув всю сетку вершин и сторон, образующих паркет из шестиугольников, квадратов и треугольников, на 60° вокруг центра одного из шестиугольников, мы получим ту же самую сетку вершин и сторон.

С точки зрения симметрии наше определение паркета не слишком удачно. Оно допускает паркеты, не обладающие никакой симметрией. Взяв обычный паркет из шестиугольников (рис. 1,в) можно «испортить» его, подразделив некоторые из шестиугольников на шесть треугольников. Легко понять, что получится вновь паркет в смысле нашего определения. Но можно доказать (попробуйте), что, подразделив, например, три шестиугольника, как показано на рис. 3, и оставив все остальные неподразделенными, мы получим паркет, совсем лишенный симметрии. Чтобы устранить некрасивые, недостаточно симметричные паркеты, мы введем такое определение: паркет называется правильным, если его можно наложить на самого себя так, что любая заданная его вершина наложится на любую другую заданную его вершину. Оказывается, что все многообразие правильных паркетов можно описать. Если длина  стороны многоугольников паркета задана, то существует только 11 различных (не накладывающихся друг на друга) правильных паркетов. Все они изображены на рис. 1, 2, 4.

Рис. 3

Рис. 4