МНОГОЧЛЕНМногочленом от одной переменной называют выражение вида , . (1) Число называют степенью многочлена, – старшим коэффициентом, – свободным членом. Для многочленов определены операции сложения и умножения по правилам: (2) . (3) Нетрудно проверить, что свойства операций над многочленами аналогичны свойствам арифметических операций над действительными числами: Уравнение вида , где – многочлен -й степени от , называют алгебраическим уравнением -й степени. Число , такое, что , называют корнем многочлена. В 1799 г. немецкий математик К. Ф. Гаусс доказал теорему, которая носит название «основная теорема алгебры многочленов»: любой многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. В конце XVIII в. французский математик Э. Безу сформулировал и доказал следующую теорему: остаток от деления многочлена (с действительными коэффициентами) на двучлен равен . Отсюда, в частности, получается, что если - корень многочлена , то делится без остатка на . Наибольшая степень такая, что многочлен делится на , называется кратностью корня . Так как при делении многочлена степени на двучлен получается многочлен степени , то с учетом основной теоремы алгебры приходим к выводу: многочлен степени (с комплексными коэффициентами) имеет в точности корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Кроме того, этот многочлен можно разложить на линейные множители: , (4) где - корни многочлена, , - кратность корня . Можно доказать, что если – корень многочлена с действительными коэффициентами, то и - также его корень. Перемножая в разложении (4) множители и , получим многочлен второй степени с действительными коэффициентами: . Отсюда следует, что многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами. Французский математик Ф. Виет (1540-1603) установил следующие соотношения между корнями уравнения и его коэффициентами: Это утверждение называется теоремой Виета. Для квадратного трехчлена соотношения имеют вид где и - корни трехчлена. Велика роль многочленов в математике. Многочлены являются довольно простыми функциями. Их легко дифференцировать и интегрировать. Оказывается, любую непрерывную функцию на заданном отрезке можно сколь угодно хорошо приблизить многочленом, например так, чтобы их значения отличались меньше чем на 0,001. Приближение функции многочленом в небольшой окрестности некоторой точки определения функции позволяет выяснить характер поведения функции вблизи этой точки: возрастает или убывает функция, или в этой точке она имеет экстремум (см. Экстремум функции). Большой вклад в теорию приближения функций многочленами внес П. Л. Чебышев. «Ты когда-нибудь видела, как рисуют множество?» - «Множество чего?» - спросила Алиса. - «Ничего, - отвечала Соня. - Просто множество!». Л. Кэролл
|