МНОГОЧЛЕН

Многочленом  от одной переменной  называют выражение вида

, .             (1)

Число  называют степенью многочлена,  – старшим коэффициентом,  – свободным членом.

Для многочленов определены операции сложения и умножения по правилам:

              (2)

. (3)

Нетрудно проверить, что свойства операций над многочленами аналогичны свойствам арифметических операций над действительными числами:

Уравнение вида , где  – многочлен -й степени от , называют алгебраическим уравнением -й степени. Число , такое, что , называют корнем многочлена. В 1799 г. немецкий математик К. Ф. Гаусс доказал теорему, которая носит название «основная теорема алгебры многочленов»: любой многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

В конце XVIII в. французский математик Э. Безу сформулировал и доказал следующую теорему: остаток от деления многочлена  (с действительными коэффициентами) на двучлен  равен . Отсюда, в частности, получается, что если  - корень многочлена , то  делится без остатка на . Наибольшая степень  такая, что многочлен  делится на , называется кратностью корня . Так как при делении многочлена степени  на двучлен  получается многочлен степени , то с учетом основной теоремы алгебры приходим к выводу: многочлен степени  (с комплексными коэффициентами) имеет в точности  корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Кроме того, этот многочлен можно разложить на линейные множители:

,               (4)

где  - корни многочлена, ,  - кратность корня . Можно доказать, что если  – корень многочлена с действительными коэффициентами, то и  - также его корень. Перемножая в разложении (4) множители  и , получим многочлен второй степени с действительными коэффициентами: . Отсюда следует, что многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами.

Французский математик Ф. Виет (1540-1603) установил следующие соотношения между корнями  уравнения

и его коэффициентами:

Это утверждение называется теоремой Виета. Для квадратного трехчлена  соотношения имеют вид

где  и  - корни трехчлена.

Велика роль многочленов в математике. Многочлены являются довольно простыми функциями. Их легко дифференцировать и интегрировать. Оказывается, любую непрерывную функцию на заданном отрезке можно сколь угодно хорошо приблизить многочленом, например так, чтобы их значения отличались меньше чем на 0,001. Приближение функции многочленом в небольшой окрестности некоторой точки определения функции позволяет выяснить характер поведения функции вблизи этой точки: возрастает или убывает функция, или в этой точке она имеет экстремум (см. Экстремум функции).

Большой вклад в теорию приближения функций многочленами внес П. Л. Чебышев.

«Ты когда-нибудь видела, как рисуют множество?» - «Множество чего?» - спросила Алиса. - «Ничего, - отвечала Соня. - Просто множество!». Л. Кэролл