НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИРассмотрим
две функции, графики которых изображены на рис. 1 и 2. График первой функции
можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Эту функцию можно назвать
непрерывной. График другой функции так нарисовать нельзя. Он состоит из двух
непрерывных кусков, а в точке
Рис. 1
Рис. 2 Такое наглядное определение непрерывности никак не может устроить математику, поскольку содержит совершенно нематематические понятия «карандаш» и «бумага». Точное математическое определение непрерывности дается на основе понятия предела и состоит в следующем. Пусть
функция
Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой его точке. Если
в точке Как видим, математически свойство непрерывности функции на отрезке определяется через местное (локальное) свойство непрерывности в точке. Величина
Перепишем равенство (1) в равносильном виде
Используя введенные обозначения, его можно переписать так:
Итак,
если функция непрерывна, то при стремлении приращения аргумента к нулю
приращение функции стремится к нулю. Говорят и иначе: малому приращению
аргумента соответствует малое приращение функции. На рис. 3 приведен график
непрерывной в точке
Рис. 3
Рис. 4 Наше представление о непрерывной функции как о функции, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, прекрасно подтверждается свойствами непрерывных функций, которые доказываются в математическом анализе. Отметим, например, такие их свойства. 1. Если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. 2.
Функция 3.
Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она достигает своего
наибольшего и своего наименьшего значения, т.е. если Геометрический
смысл первого из этих утверждений совершенно ясен: если непрерывная кривая
переходит с одной стороны оси
Рис. 5
Рис. 6 Примером
непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая
элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена.
Например, функции Сложение, вычитание, умножение непрерывных на одном и том же отрезке функций вновь приводят к непрерывным функциям. При делении двух непрерывных функций получится непрерывная функция, если знаменатель всюду отличен от нуля. К
понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь
различные законы движения. Пространство и время непрерывны, и зависимость,
например, пути С помощью непрерывных функций описывают состояния и процессы в твердых телах, жидкостях и газах. Изучающие их науки - теория упругости, гидродинамика и аэродинамика - объединяются одним названием - «механика сплошной среды».
|