НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим две функции, графики которых изображены на рис. 1 и 2. График первой функции можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Эту функцию можно назвать непрерывной. График другой функции так нарисовать нельзя. Он состоит из двух непрерывных кусков, а в точке  имеет разрыв, и функцию мы назовем разрывной.

Рис. 1

Рис. 2

Такое наглядное определение непрерывности никак не может устроить математику, поскольку содержит совершенно нематематические понятия «карандаш» и «бумага». Точное математическое определение непрерывности дается на основе понятия предела и состоит в следующем.

Пусть функция  определена на отрезке  и  - некоторая точка этого отрезка. Функция  называется непрерывной в точке , если при стремлении  к  ( рассматривается только из отрезка ) значения функции стремятся к , т.е. если

.              (1)

Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой его точке.

Если в точке  равенство (1) не выполняется, функция называется разрывной в точке .

Как видим, математически свойство непрерывности функции на отрезке определяется через местное (локальное) свойство непрерывности в точке.

Величина  называется приращением аргумента, разность значений функции  называется приращением функции и обозначается . Очевидно, что при стремлении  к  приращение аргумента стремится к нулю: .

Перепишем равенство (1) в равносильном виде

.

Используя введенные обозначения, его можно переписать так:

.

Итак, если функция непрерывна, то при стремлении приращения аргумента к нулю приращение функции стремится к нулю. Говорят и иначе: малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции. На рис. 3 приведен график непрерывной в точке  функции, приращению  соответствует приращение функции . На рис. 4 приращению  соответствует такое приращение функции , которое, как бы мало  ни было, не будет меньше половины длины отрезка ; функция разрывна в точке .

Рис. 3

Рис. 4

Наше представление о непрерывной функции как о функции, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, прекрасно подтверждается свойствами непрерывных функций, которые доказываются в математическом анализе. Отметим, например, такие их свойства.

1. Если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю.

2. Функция , непрерывная на отрезке , принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, т.е. между  и .

3. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения, т.е. если  - наименьшее, а  - наибольшее значения функции на отрезке , то найдутся на этом отрезке такие точки  и , что  и .

Геометрический смысл первого из этих утверждений совершенно ясен: если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси  на другую, то она пересекает эту ось (рис. 5). Разрывная функция этим свойством не обладает, что подтверждается графиком функции на рис. 2, а также свойствами 2 и 3. На рис. 2 функция не принимает значения , хотя оно заключено между  и . На рис. 6 приведен пример разрывной функции  (дробная часть числа ), которая не достигает своего наибольшего значения.

Рис. 5

Рис. 6

Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции  и  непрерывны на любом отрезке , функция  непрерывна на отрезке , функция  непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку .

Сложение, вычитание, умножение непрерывных на одном и том же отрезке функций вновь приводят к непрерывным функциям. При делении двух непрерывных функций получится непрерывная функция, если знаменатель всюду отличен от нуля.

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время непрерывны, и зависимость, например, пути  от времени , выраженная законом , дает пример непрерывной функции .

С помощью непрерывных функций описывают состояния и процессы в твердых телах, жидкостях и газах. Изучающие их науки - теория упругости, гидродинамика и аэродинамика - объединяются одним названием - «механика сплошной среды».