НЕРАВЕНСТВА

Неравенство - это два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков:  (больше),  (меньше),  (больше или равно),  (меньше или равно). Запись  означает то же, что , так что наличие двух противоположных знаков неравенства просто дополнительное удобство. Неравенства, содержащие знак  или , называют строгими, а содержащие знак  или  - нестрогими.

Числовое неравенство может быть верным или неверным; например, неравенства ; ; ; ;  верны, а  неверно. Таким образом, с точки зрения математической логики неравенство является высказыванием. Неравенство с переменными (т.е. неравенство, в запись которого входят буквы, принимающие разные значения) может при одних значениях переменных быть верным, при других - нет. Доказать такое неравенство - значит доказать, что оно выполнено при всех допустимых значениях переменных (такие неравенства называются тождественными). Для неравенства с переменными можно поставить задачу: решить неравенство, т.е. описать множество значений переменных, при которых оно выполнено.

Решая или доказывая неравенства, мы опираемся на основные свойства отношения «больше - меньше» между числами:

(1) отношение неравенства антисимметрично, т.е. для любых различных чисел  либо , либо , и транзитивно, т.е. для любых трех чисел  если  и , то ;

(2) если , то  при любом ;

(3) если  и , то .

Из последних двух свойств, связывающих отношение неравенства между числами с арифметическими операциями, именно свойство (3) вызывает наибольшее число ошибок у начинающих: часто забывают, что при умножении на отрицательное число неравенство изменяется на противоположное. Из основных свойств (1), (2), (3) можно вывести все другие: если  и , то  (правило почленного сложения неравенств); если ,  - натуральное число, то  и т.п.

При расширении понятия числа - переходя от целых чисел к рациональным, затем к действительным - мы должны определять отношение «больше - меньше» на новом множестве так, чтобы сохранялись основные его свойства. По определению из двух дробей  и  (с положительными знаменателями ) первая больше, если ; из двух положительных бесконечных десятичных дробей больше та, у которой больше единиц в самом левом из несовпадающих разрядов (при этом не рассматриваются дроби с окончаниями 9999...).

С помощью неравенств задаются основные числовые множества (отрезок , интервал , луч  и т.д.), формулируются определения предела, непрерывной функции, монотонной последовательности и функции, целого ряда других важных понятий. Например, определение выпуклой функции  можно сформулировать так: непрерывная функция называется выпуклой вниз, если для всех  выполнено неравенство

,

а выпуклой вверх - если верно неравенство противоположного смысла (см. Выпуклые функции); для функции, имеющей производную, это эквивалентно тому, что  - монотонная функция (соответственно неубывающая или невозрастающая, рис. 1).

Рис. 1

Выпуклые функции и их производные

На языке неравенств нередко формулируется постановка задачи во многих приложениях математики. Например, многие экономические задачи сводятся к исследованию систем линейных неравенств с большим числом переменных (см. Геометрия). Часто то или иное неравенство служит важным вспомогательным средством, основной леммой, позволяющей доказать или опровергнуть существование каких-то объектов (скажем, решений уравнения), оценить их количество, провести классификацию. Например, чтобы классифицировать все правильные многогранники, нужно прежде всего вспомнить, какие углы могут иметь правильные многоугольники, и воспользоваться неравенством: сумма величин плоских углов выпуклого многогранного угла не больше 360°.

Эта теорема наряду с самыми первыми геометрическими неравенствами («перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из одной и той же точки к данной прямой», «сторона треугольника меньше суммы двух других сторон», «против большего угла треугольника лежит большая сторона») принадлежит еще древнегреческой математике - она содержалась в знаменитых «Началах» Евклида.

Неравенства - это не только вспомогательный инструмент. В каждой области математики - алгебре и теории чисел (см. Чисел теория), геометрии и топологии, теории вероятностей и теории функций, математической физике и теории дифференциальных уравнений, теории информации и дискретной математике - можно указать фундаментальные результаты, формулируемые в виде неравенств.

Во многих разделах математики, особенно в математическом анализе, в прикладной математике, неравенства встречаются значительно чаще, чем равенства. Скажем, решение каких-то практически важных уравнений лишь по счастливой случайности удается найти точно - в виде числа или формулы, а для приближенного решения в математике всегда требуется указать оценку погрешности, т.е. доказать некоторое неравенство. В этом заключается одно из главных отличий между математическим и физическим уровнем строгости: физик готов ограничиться нахождением «порядка величины» там, где математик стремится строго доказать какие-то оценки, т.е. неравенства.

Находя оценку той или иной величины сверху (максимум) или снизу (минимум), т.е. доказывая, что эта величина не больше какого-то числа  (или не меньше ), мы стараемся получить как можно более точный результат: оценку сверху - пониже, снизу - повыше. Самая точная возможная оценка числового множества  сверху обозначается  (супремум ). Аналогично определяется самая точная оценка снизу:  (инфинум ). Рассмотрим, для примера, отношение площади  многоугольника к квадрату его периметра . Чем более «округлый» многоугольник, тем величина  больше - в этом легко убедиться на примерах (рис. 2). Точная верхняя грань этого отношения: . На множестве всех многоугольников эта оценка не достигается - нет такого многоугольника, для которого  в точности равно ; а на множестве всех (выпуклых) фигур - достигается, причем только для круга радиуса  это отношение как раз равно . Когда величина достигает своего наибольшего значения, вместо  можно писать  (максимум); соответственно вместо  писать  (минимум).

Рис. 2

Отношение площади к квадрату периметра максимально для круга.

Доказательство неравенств тесно связано с исследованием функций на экстремум (см. Экстремум функции). Чтобы доказать, что максимум какой-то функции  равен , мы должны указать значения аргументов, при которых функция  равна , и доказать неравенство . Например, тот факт, что на множестве всех фигур , обычно формулируется так: из всех фигур данного периметра наибольшую площадь имеет круг. Это знаменитое изопериметрическое неравенство (доказанное впервые Л. Эйлером) - представитель целого класса геометрических неравенств, различные варианты и многомерные обобщения которых используются в разных отделах математики и ее приложениях.

Важная часть работы математика - доказательство тождественных неравенств, т.е. таких, которые верны при всех значениях входящих в них переменных (или при всех заранее оговоренных допустимых значениях переменных). Иногда это дело несложное - например, чтобы доказать неравенство , где  и  - некоторые функции, удается преобразовать разность  так, что становится очевидной ее положительность: , поскольку ; , поскольку .

Но бывает, что для доказательства неравенства приходится использовать весьма тонкие геометрические или аналитические соображения. Как опытному шахматисту помогает знание основных дебютов, так и математику полезно знать некоторые часто встречающиеся классические тождественные неравенства. Среди них - красивые неравенства, в которые переменные входят симметричным образом (см. Средние значения).

Серию таких неравенств дает следующее общее неравенство датского математика И. Йенсена (1859-1925) для выпуклых функций: если  - выпуклая вниз функция на отрезке  и  - любые положительные числа, то при всех  из

.

Для выпуклой вверх функции верно обратное неравенство; в частности, при , ,  , отсюда получается неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического.

Наглядное объяснение этого неравенства состоит в следующем: если на графике выпуклой вниз функции расположить грузы с произвольными массами , то центр их масс будет лежать выше графика (рис. 3).

Рис. 3

Центр масс системы грузов имеет координаты

Для получения оценок сумм вида  применяются метод математической индукции, а также сравнение этой суммы со специально подобранным интегралом. Например, для суммы

(см. Гармонический ряд) сравнение ее с площадью под гиперболой  (рис. 4) дает оценки: . Скажем, при , отсюда получаем .

Рис. 4

Доказательства непрерывности и дифференцируемости элементарных функций, формул для их производных опираются на некоторые основные неравенства; среди них - неравенства  (при ), , неравенство Бернулли  (при , натуральном ).

Методы математического анализа, в свою очередь, удобное средство доказательства неравенств для функций от одной переменной. Так, если значения двух функций  и  совпадают при  и  при , то  при любом , другими словами, неравенство можно почленно интегрировать. Приведем один пример, показывающий, как это соображение позволяет вычислять с большой точностью .

Поскольку  и , то при

.

Точно так же отсюда получаем последовательно:

, т.е. ;

;

, т.е. ;

 и т.д.

Таким образом, мы получаем, что  заключен между суммой первых  и первых  членов ряда

(где )

(при любом ); точно так же для  аналогичные оценки дает ряд

.

Мы говорили выше о способах получения тождественных неравенств. Если же записано какое-то неравенство вида

,

где  и  - любые функции,  - переменная, то при некоторых значениях  оно будет верно, при других - нет.

Решить такое неравенство - значит найти множество  всех значений переменной , при которых оно верно. Задачи на решение неравенств подробно изучаются в школьном курсе. Между решением неравенств и решением уравнений много общего - неравенства тоже нужно с помощью преобразований сводить к более простым. Важное отличие состоит в том, что множество  решений неравенства, как правило, бесконечно (отрезок, луч, объединение нескольких отрезков). Сделать полную проверку ответа в этом случае нельзя. Поэтому, решая неравенство, нужно обязательно переходить к эквивалентному ему неравенству - имеющему в точности то же множество решений. Для этого, опираясь на основные свойства неравенств, надо проделывать лишь такие преобразования, которые сохраняют знак неравенства и обратимы. Скажем, можно применить к обеим частям операцию возвышения в куб, но нельзя - операции возвышения в квадрат (если только не известно, что обе части его заведомо положительны); вообще неравенства  и  эквивалентны, если функция  неубывающая.

Однако если мы умеем решать уравнение , то решить неравенство , как правило, не представляет труда: в этом помогает «метод интервалов». Будем говорить о неравенстве вида  (мы можем перенести все члены в левую часть). Пусть функция  определена и непрерывна на всей прямой или на области , состоящей из нескольких (конечных или бесконечных) отрезков. Так будет для всех элементарных функций. Отметим корни уравнения ; они разбивают область определения функции  на ряд интервалов, в каждом из которых  сохраняет знак. Какой именно знак имеет  в каждом из интервалов, можно выяснить, подставив в  одно (любое) значение  из этого интервала. Остается выбрать те интервалы, в которых  положительно, - это будет искомое множество .

Например, чтобы решить неравенство

,

заметим, что знаменатель  обращается в 0 при  и , а вся дробь обращается в 1 при  и . Остается на каждом из 6 кусочков, на которые делят прямую эти пять точек, найти знак дроби

,

как это и бывает обычно (кроме исключительных случаев «кратных корней»), знаки чередуются. (Ответ:  состоит из трех множеств: ,  и .)

Еще проще применять «метод интервалов», если заранее известно, где функция убывает, а где - возрастает, и известен ее график. Например, неравенство  будет выполнено на отрезках между корнями  уравнения  (здесь ), содержащих точки . На рис. 5 множество решений - объединение отрезков , .

Рис. 5