Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


НОМОГРАФИЯ

Номографией (от греческого nomas - «закон», yrapho - «пишу») называется область вычислительной математики, в которой развивается теория построения номограмм особых чертежей, служащих для расчета по данным формулам или для решения различных уравнений. Искомое значение величины или действительный корень уравнения можно отыскать непосредственно на самой номограмме, прикладывая линейку к определенным ее точкам.

Номограмма, таким образом, является готовым инструментом для проведения расчетов.

Обыкновенная линейка обладает тем свойством, что деления на ней составляют равномерную шкалу. Для решения ряда задач номографии приходится расширить понятие о шкале. Пусть нам дана некоторая функция . Возьмем прямую линию и будем откладывать на ней от некоторой фиксированной точки значения нашей функции, соответствующие различным значениям аргумента , и в конце каждого из полученных отрезков поставим пометку, равную тому значению , для которого получен этот отрезок. Нанесенные таким образом пометки уже не будут распределяться на прямой равномерно, их расположение зависит от выбранной функции . Эта прямая с нанесенными делениями называется функциональной шкалой. На рис. 1 показана функциональная шкала для функции .

215-2.jpg

Рис. 1

Простейшим приложением функциональной шкалы является использование ее для вычисления значений функции при разных значениях аргумента. Возьмем две шкалы: одну функциональную, другую равномерную, построенные в одном и том же масштабе. Приложим обе шкалы одну к другой так, чтобы их начальные точки совпадали. Если теперь взять на функциональной шкале точку с пометкой , то пометка равномерной шкалы, лежащая против взятой пометки , в точности дает значение функции . Обратно, зная значение функции, можно найти значение аргумента; для этого нужно найти соответствующую пометку на равномерной шкале и прочитать соответствующую пометку функциональной шкалы. Такое соединение двух шкал является простейшей номограммой и называется двойной шкалой (рис. 2). Одно из ее главнейших применений - логарифмическая (счетная) линейка. В инженерной практике используется также логарифмическая (полулогарифмическая) бумага, где обе оси (или одна ось) являются логарифмическими функциональными шкалами.

215-3.jpg

Рис. 2

На рис. 3 изображена номограмма для уравнения , которая состоит из трех определенным образом расположенных равномерных шкал. Прикладывая линейку к двум пометкам на разных лучах, отвечающих, например, заданным значениям  и , по номограмме находим значение  (на рис. 3 значение , a  и тем самым ). Разобранный пример демонстрирует нам новый тип номограмм - номограмму из выровненных точек. Такое название объясняется тем, что точки на номограмме, соответствующие данным числам и искомому числу, лежат на одной прямой.

216-1.jpg

Рис. 3

На рис. 4 изображена номограмма из выровненных точек для приближенного отыскания положительных корней уравнения . Она состоит из двух равномерных и одной неравномерной шкал. Если при помощи этой номограммы нам нужно приближенно найти положительный корень уравнения , нужно на оси  взять точку  с пометкой , на оси  - точку  с пометкой  и провести прямую . Каждая точка пересечения (их может быть не больше двух) с криволинейной шкалой дает приближенное значение положительного корня заданного уравнения (на рис. 4 - случай , ). Построенная прямая  может пересекаться с кривой  в двух точках (оба корня положительны), в одной точке (второй корень отрицателен), может касаться кривой (в этом случае у уравнения кратный положительный корень); наконец, она может не иметь с кривой  ни одной общей точки (в этом случае либо оба корня уравнения отрицательны, либо у него вообще нет действительных корней). Для получения отрицательных корней уравнения  надо, сделав замену переменной , искать по той же номограмме положительные корни уже уравнения . Если значения коэффициентов  и  по модулю превосходят 12,6 (на рис. 4 предполагается , ), то следует сделать замену переменной  и перейти от уравнения  к уравнению

;

число  выбирается таким образом, чтобы числа  и  были уже в указанных выше пределах. В случае, если оба корня уравнения  близки к нулю, также выгодно сделать замену переменной . Так, для уравнения  значения корней по номограмме найти трудно. Положив , получим уравнение ; его корни ; , откуда , .

216-2.jpg

Рис. 4

Как в практическом, так и теоретическом плане значительный интерес представляют сетчатые номограммы. На рис. 5 показана такая номограмма для приближенного решения уравнений вида . Она состоит из семейства прямых линий с некоторыми пометками, касающихся параболы

.

217.jpg

Рис. 5

Пользуются этой номограммой следующим образом. Каждому уравнению  однозначно ставится в соответствие точка  плоскости , и в зависимости от расположения ее по отношению к «сетке» приближенно определяются корни соответствующего уравнения. Если точка  попадает внутрь параболы, т.е. если

,

то уравнение  не имеет (действительных) корней. В случае, когда это уравнение имеет два различных действительных корня, точка  лежит во внешней области параболы . Если , т. е. точка  лежит на параболе, то уравнение имеет два совпадающих корня. Решим, например, уравнение . Через точку  проходят на номограмме две прямые с пометками  и ; тем самым числа  и  являются корнями нашего уравнения.

Рассмотрим теперь уравнение . Этому уравнению соответствует точка , и она не лежит ни на одной из прямых, показанных на рис. 5. В этом случае поступаем так. Заметим, что точка  лежит внутри четырехугольника , образованного прямыми с пометками  и  (рис. 5). Точкам этого четырехугольника соответствуют уравнения с двумя действительными корнями, один из которых попадает в интервал , а другой - в интервал . Корни уравнения  также лежат в указанных интервалах. Взяв их середины, мы получим приближенные значения искомых корней:

; .

Для того чтобы при помощи этой номограммы удобно было решать и уравнения с совпадающими корнями, парабола  также снабжена пометками. Дело в том, что квадратному уравнению с корнями  соответствует точка , лежащая на этой параболе.

Различного рода номограммы широко применяются в разнообразных практических расчетах. Существуют промышленно изготовленные номограммы, например, для вычисления углов установки резца на заточном станке, для определения процентного содержания трех веществ в данной смеси, для расчета скорости течения воды в реках и каналах, для вычисления площадей и объемов, для расчета параметров радиоламп и т.д.

Разработка теории номографических построений началась в XIX в. Первой была создана теория прямолинейных сетчатых номограмм французским математиком Л. Лаланом в 1843 г. Основания общей теории заложил его соотечественник М. Окань в 1884-1894 гг. Советскую номографическую школу создал Н. А. Глаголев (1888-1945). Ему принадлежит большая заслуга в деле организации номографирования инженерных расчетов.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>