НЬЮТОНА БИНОМ

Бином Ньютона - название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Формулу для квадрата двучлена  знали, по-видимому, еще математики Древнего Вавилона, а древнегреческие математики знали ее геометрическое истолкование (см. Алгебра). Если умножить обе части этой формулы на  и раскрыть скобки, то получим:

, т.е. .

Еще один такой шаг приводит к формуле .

Легко заметить закон образования коэффициентов: коэффициент 4 при  есть сумма коэффициентов 3 и 1 при  и . Аналогично, коэффициент 6 при  является суммой  коэффициентов при  и . По тому же закону получаем и коэффициент 4 при .

Таким образом, коэффициент  при  в разложении  равен сумме коэффициентов  и  при  и при  в разложении , а коэффициенты при  и при  равны единице.

Отсюда следует, что коэффициенты  в равенстве

               (1)

являются членами -й строки треугольника Паскаля (см. Паскаля треугольник). Это утверждение было известно задолго до Паскаля - его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел  (биномиальных коэффициентов) до  включительно.

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г. Еще до этого было известно, что числа

являются в то же время числами «сочетаний без повторений» из  элементов по  (см. Комбинаторика).

В 1664-1665 гг. И. Ньютон установил, что формула (1) обобщается на случай произвольных (дробных и отрицательных) показателей, но при этом получается сумма из бесконечного множества слагаемых. Именно он показал, что при

                  (2)

При  формула (2) превращается в известную формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

.