НЬЮТОНА БИНОМ
Бином Ньютона - название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.
Формулу для квадрата двучлена
знали, по-видимому, еще математики Древнего Вавилона, а древнегреческие математики знали ее геометрическое истолкование (см. Алгебра). Если умножить обе части этой формулы на
и раскрыть скобки, то получим:
, т.е.
.
Еще один такой шаг приводит к формуле
.
Легко заметить закон образования коэффициентов: коэффициент 4 при
есть сумма коэффициентов 3 и 1 при
и
. Аналогично, коэффициент 6 при
является суммой
коэффициентов при
и
. По тому же закону получаем и коэффициент 4 при
.
Таким образом, коэффициент
при
в разложении
равен сумме коэффициентов
и
при
и при
в разложении
, а коэффициенты при
и при
равны единице.
Отсюда следует, что коэффициенты
в равенстве
(1)
являются членами
-й строки треугольника Паскаля (см. Паскаля треугольник). Это утверждение было известно задолго до Паскаля - его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел
(биномиальных коэффициентов) до
включительно.
Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г. Еще до этого было известно, что числа

являются в то же время числами «сочетаний без повторений» из
элементов по
(см. Комбинаторика).
В 1664-1665 гг. И. Ньютон установил, что формула (1) обобщается на случай произвольных (дробных и отрицательных) показателей, но при этом получается сумма из бесконечного множества слагаемых. Именно он показал, что при 
(2)
При
формула (2) превращается в известную формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:
.