ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

В ряде задач математики и ее приложений требуется по известному значению тригонометрической функции найти соответствующее значение угла, выраженное в градусной или в радианной мере. Известно, что одному и тому же значению синуса соответствует бесконечное множество углов, например, если , то угол  может быть равен и 30° и 150°, или в радианной мере  и , и любому из углов, который получается из этих прибавлением слагаемого вида , или соответственно , где  - любое целое число. Это становится ясным и из рассмотрения графика функции  на всей числовой прямой (см. рис. 1): если на оси  отложить отрезок длины  и провести прямую, параллельную оси , то она пересечет синусоиду в бесконечном множестве точек. Чтобы избежать возможного разнообразия ответов, вводятся обратные тригонометрические функции, иначе называемые круговыми, или аркфункциями (от латинского слова arcus - «дуга»).

Рис. 1

Основным четырем тригонометрическим функциям , ,  и  соответствуют четыре аркфункции , ,  и  (читается: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс). Рассмотрим функции  и , поскольку две другие выражаются через них по формулам:

, .

Равенство  по определению означает такой угол , выраженный в радианной мере и заключенный в пределах от  до , синус которого равен , т.е. . Функция  является функцией, обратной функции , рассматриваемой на отрезке , где эта функция монотонно возрастает и принимает все значения от  до . Очевидно, что аргумент у функции  может принимать значения лишь из отрезка . Итак, функция  определена на отрезке , является монотонно возрастающей, и ее значения заполняют отрезок . График функции показан на рис. 2.

Рис. 2

При условии  все решения уравнения  представим в виде , . Например, если

, то , .

Соотношение  определено при всех значениях  и по определению означает, что угол , выраженный в радианной мере, заключен в пределах

и тангенс этого угла равен , т. е. . Функция  определена на всей числовой прямой, является функцией, обратной функции , которая рассматривается лишь на интервале

.

Функция  монотонно возрастающая, ее график дан на рис. 3.

Рис. 3

Все решения уравнения  могут быть записаны в виде , .

Заметим, что обратные тригонометрические функции широко используются в математическом анализе. Например, одной из первых функций, для которых было получено представление бесконечным степенным рядом, была функция . Из этого ряда Г. Лейбниц при фиксированном значении аргумента  получил знаменитое представление числа  бесконечным рядом

.