Глава 4. НОРМАЛЬНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4.1. Введение

В двух предыдущих главах уже было дано определение нормальной случайной величины и нормального процесса. Тем не менее, так как понятие нормального процесса чрезвычайно важно для дальнейшего изложения, в данной главе будут приведены дополнительные сведения о таких процессах. Обсуждение начнем с векторных (многомерных) нормальных процессов. Затем будет сформулирована центральная предельная теорема, из которой вытекает, что многие процессы можно считать, по крайней мере приближенно, нормальными.

Решение многих задач оценивания и обнаружения существенно упрощается в случае марковских процессов. Для таких процессов знание значений процесса в настоящем приводит к независимости будущего процесса от его прошлого, в связи с чем понятие условной плотности вероятности оказывается очень важным. В предыдущих двух главах этому понятию уже было уделено достаточно много внимания.

В § 4.4 исследуются случайные процессы в нелинейных системах. Указано, что обычные правила дифференцирования и интегрирования не всегда применимы к случайным процессам. Например, интегрирование произведения двух случайных процессов нельзя осуществить с помощью обычных правил интегрального исчисления. Поэтому введено понятие стохастического интеграла Ито, благодаря которому окажется возможным решить многие фундаментальные проблемы, возникающие при исследовании случайных процессов в нелинейных системах. Затем выводится дифференциальное уравнение Фоккера – Планка, решение которого характеризует эволюцию плотности вероятности вектора переменных состояния широкого класса нелинейных систем с белым нормальным шумом на входе. Примененный при этом подход используется в гл.9 для вывода модифицированного уравнения Фоккера – Планка. Это уравнение позволяет находить условную плотность вероятности вектора состояния при известном значении вектора наблюдений. Предполагается, что вектор наблюдений является нелинейной функцией вектора переменных состояния, значения которой измеряются с ошибкой. Названное уравнение является отправной точкой при введении аппроксимации нелинейных алгоритмов фильтрации. Читатели, интересующиеся теорией линейной фильтрации, могут опустить при чтении § 4.4 и 4.5, так как подобные вопросы, относящиеся к стохастическим дифференциальным уравнениям для нелинейных систем, в случае линейных систем не возникают вообще или легко разрешаются.