8.4. Анализ ошибок и априорные данные

В течение последних лет методы нестационарной (во времени) фильтрации и сглаживания широко использовались в различных задачах. Задачи фильтрации и сглаживания подразумевают оценивание сигнала по наблюдениям, состоящим из аддитивной смеси сигнала и шума. Различие этих двух задач состоит в моментах времени оценки сигнала и в интервалах времени наблюдения. В задачах фильтрации оценку получают в конце интервала наблюдения, при сглаживании сигнал оценивается в некоторые моменты внутри интервала наблюдения. В гл. 7 и § 8.2, 8 3 эти проблемы основательно обсуждены.

Две трудности препятствуют практическому использованию уравнений фильтрации и сглаживания – это выбор математической модели вектора состояний оцениваемого сигнала и выбор соответствующих ковариационных матриц сигнала и наблюдения, используемых при решении этих задач. Желательно, чтобы модель сигнала описывала его достаточно полно и в то же время была проста настолько, чтобы алгоритмы фильтрации поддавались численному решению Матрицы ковариаций для сигнала и шума измерений также желательно иметь такие, чтобы они соответствовали реальным процессам. К сожалению, полное статистическое описание подобных процессов, как правило, невозможно.

Основным показателем расхождения (модели и сигнала и матриц ковариаций является анализ чувствительности ковариационной матрицы ошибок оценивания. Анализ чувствительности в задачах фильтрации при больших ошибках был рассмотрен для случая дискретных наблюдений в [60], [87], [173], [174], а для непрерывного времени в [175] Детальный анализ чувствительности в задачах сглаживания дан в [82], [84] В этом разделе построим алгоритмы, необходимые для анализа чувствительности в задачах сглаживания и фильтрации. Эти алгоритмы будут получены для задач сглаживания в фиксированной точке и сглаживания на временном фиксированном интервале. Отсюда как частные случаи будут получены алгоритмы чувствительности задач фильтрации.

Анализ ошибок и чувствительности уравнений фильтрации и сглаживания на фиксированном интервале при непрерывное времени. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение разработанных ранее алгоритмов вычисления ковариационных матриц ошибок оценивания и дифференциальных матричных функций чувствительности в малом и большом.

Предположим, что процесс описывается моделью

(8.178)

и предположим, что измерения (наблюдения) могут быть представлены в линейной форме

(8.179)

Будем считать также, что шумы нормальные белые с нулевыми средними и матрицами интенсивностей и соответственно. Как и в гл. 6, черта сверху указывает, что эти величины предполагаемые и могут не быть равными их действительным значениям. Оптимальный фильтр, минимизирующий среднеювадратическую ошибку

(8.180)

может быть описан уравнениями, содержащимися в табл 7.4.

(8.181)

(8.182)

(8.182 а)

где — оптимальная оценка вектора состояний в момент t при предполагаемых параметрах .

Дифференциальное уравнение для оценки сглаживания на фиксированном интервале, полученное минимизацией выражения

(8.183)

дано в табл. 8.3. Оценка вектора состояний удовлетворяет уравнению

. (8.184)

Ковариационная матрица ошибок также удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению, но только в том случае, когда модель процесса и априорные данные достоверны. Это дифференциальное уравнение имеет вид

(8.185)

Начальные условия для (8.185) вытекают из решения задачи фильтрации. Как уже известно, ур-ния (8.184) и (8 185) решаются в обратном времени для всех и решением является оценка сглаживания, а также соответствующая ковариационная матрица ошибок В ажио отметить, что для того чтобы найти оценку сглаживания, нет необходимости вычислять (ковариационную' матрицу ошибок.

Указанные алгоритмы оптимальной фильтрации и сглаживания обеспечивают минимальный риск только в том случае, если модель совпадает с реальным процессом. Если же этого не происходит, то матрица ковариаций ошибок оценивания уже не является истинной (ковариационной матрицей ошибок Таким образом, действительная ковариационная матрица ошибок может выявлять ошибки, возникающие в результате использования некорректной модели. Поэтому эта матрица играет первостепенную роль в любом анализе ошибок и исследовании чувствительности алгоритмов фильтрации и сглаживания Как сейчас будет показано, для действительной матрицы ковариаций можно получить специальное дифференциальное уравнение

Сначала предположим, что реальный физический процесс точно описывается уравнением

(8.187)

а вектор измерений равен

(8.188)

и величины и являются точными. Теперь найдем уравнения для действительной ошибки фильтрации

(8.189)

и ошибки сглаживания

(8.190)

Используя введенные соотношения, можно получить дифференциальные уравнения, которым должны удовлетворять ошибки оценивания. В случае фильтрации имеем

(8.191)

а для сглаживания

(8.192)

где

(8.193)

В ур-ниях (8 191) и (8.192) для упрощения записи у некоторых функций не указан аргумент (время) Образовывая новый вектор состояний, можно векторные дифференциальные уравнения для действительной ошибки фильтрации сглаживания и ошибки модели свести в одно дифференциальное уравнении. Этот вектор можно определить как

, (8.194)

а новый входной вектор

. (8.195)

Тогда новое уравнение для вектора состояний можно записать как

(8.196)

(8.197)

(8.198)

Теперь, внося операцию усреднения под знак дифференциального оператора, можно найти уравнение для «ковариационной матрицы процесса .

Дифференциальное уравнение для имеет следующее решение

(8.199)

где - переходная матрица состояний (8.199). Используя (8.196) и (8.199), а также свойство дельта-функции, имеем

(8.200)

(8.201)

Для того чтобы двигаться дальше, следует вычислить взаимные ковариационные члены в (8 200). В следующем ниже примере, который читатель, интересующийся только конечным результатом, может пропустить, показано, как вычисляются взаимные кавариации.

Пример 8.2. Взаимная ковариационная матрица в (8.200) может быть выражена в такой форме, что для ее нахождения можно использовать только одио дифференциальное уравнение Такая форма позволяет найти выражение для и упрощает вычисление ковариационной матрицы действительных ошибок оценивания. Матрица может быть разбита на подматрицы, поскольку

(1)

a может быть представлена следующим образом

(2)

где - подматрица размером .

Подматрицы ур ния (1) определяются из векторного дифференциального уравнения

(3)

где

(4)

(5)

Решение ур-ния (3) может быть записано в виде

(6)

где и .

выражение для можно найти, усредняя произведение в правой части ур-ння (6) и и учитывая то, что при начальном условии сигнал и шум наблюдения независимы. Тогда имеем

(7)

Можно упростить это выражение, если, поменяв местами операции интегрирования и усреднения, выполнить интегрирование с учетом соотношения

и свойств дельта-функции Результирующее уравнение можно представить в виде

(8)

Поскольку есть компонента вектора , то, следовательно, соотношения верны.

Если эти выражения подставить в правую часть (1) и результирующую матрицу умножить слева на правую часть ур-ния (2), то получим

(9)

где

(10)

здесь - подматрица . Если матрицу перехода обозначить через , то, как известно,. Это свойство может быть использовано для редукции к выражениям следующего вида

(11)

Если уравнение записано в составной форме, то, как легко видеть, уравнение

(12)

Следовательно .

Два выражения из (10) еще содержат компоненты . Эти компоненты равны:

(13)

(14)

Их можно вычислить, если определить матрицу . Последнюю можно найти однако, только в случае, когда иайдеиы дифференциальные уравнения для и . Сначала возьмем производную от ур-иия (14). Это дает

(15)

Как было показано выше, удовлетворяет дифференциальному уравнению

Следовательно,

(16)

Но должно удовлетворять дифференциальному уравнению , откуда видно, что

(17)

Следовательно, если (16) и (17) подставить в (15), то получим

(18)

Аналогично можно найти дифференциальное уравнение и для , если сначала взять производную от ур-ния (15) и проделать все указанные процедуры. Тогда

(19)

Начальные условия для этих уравнений имеют вид .

Тогда . Теперь все компоненты уравнения определены через известные величины или величины, которые могут быть найдены решением ур ний (15) и (19)

Расширяя матрицу ковариаций для получим

(8.202)

где В алгоритмах фильтрации действительная ковариационная матрица ошибок оценивания определяется решением дифференциального матричного уравнения

(8.203)

где удовлетворяет условию

(8.204)

а условию

(8.205)

Эти соотношения легко получить методами, развитыми в § 3.5. Начальными условиями для предыдущих уравнений являются

(8.206)

Если матрицы и одинаковы для модели и действительного физического процесса, то ур-ние (8.203) приобретает такой вид, что для его решения не нужны ур-ния (8.204) и (8.205). Наконец, если и то (8.203) переходит в (8.183), являющееся строгим уравнением для ковариационной матрицы ошибок, если модель и априорные данные верны.

Дополнительные дифференциальные уравнения:

(8.207)

(8.208)

(8.209)

(8.210)

(8.211)

с начальными условиями:

(8.212)

должны быть решены в том случае, если в задаче сглаживания необходимо найти ковариационную матрицу действительных ошибок сглаживания. Вычисление по этим соотношениям следует непосредственно и предоставляется читателю в качестве упражнения.

Два из предыдущих дифференциальных уравнений могут быть исключены. Это можно сделать путем следующего определения матриц:

(8.213)

(8.214)

Поскольку правые части этих тождеств удовлетворяют дифференциальным уравнениям и начальным условиям левой часть, то указанные тождества справедливы. Использование этих тождеств в ур-нии (8.207) дает

(8.215)

что является эквивалентным выражением для полученных ранее соотношений (8.207) — (8.209). Для нахождения ковариационной матрицы сглаживания ур-ния (8 210), (8.211) и (8.215) должны решаться в обратном времени для всех . Если модель действительно отражает реальный физический процесс, то ур-ние (8.215) переходит в (8.186).

Если ковариационная матрица действительной ошибки найдена, то матричные функции чувствительности в большом определяются соотношениями:

(8.216)

для случаев фильтрации и сглаживания соответственно; — разность между значением параметра модели, используемой для оценивания, и параметра действительного процесса. Величины и вычисляются при действительном значении параметра , a и - при предполагаемом его значении .

Действительный риск как для фильтрации, так и для сглаживания может быть записан в виде , где — оценка сигнала в случае фильтрации или сглаживания. Таким образом, по матрице ковариаций функции чувствительности в большом мы можем определить чувствительность в большом функции риска из соотношений:

(8.217)

Ecли различия между моделью и действительным процессом невелики, то полезным оказывается анализ чувствительности дифференциального типа или чувствительности в малом.Матрица чувствительности в малом для алгоритмов фильтрации определяется как

, (8.218)

где — истинный параметр, a — предполагаемое его значение. Прямое вычисление полученного выше выражения в задачах, связанных с чувствительностью в большом, «может оказаться затруднительным, поавольку аналитические выражения для ковариационных матриц обычно не существуют. Однако можно найти матричное дифференциальное уравнение для матричной функции чувствительности, пригодное для изменений первого порядка.

Если взять частную производную от обеих частей ур-ния (8.203), поменять порядок дифференцирования и множество параметров действительного процесса заменить на множество параметров модели фильтрации, то получим дифференциальное уравнение для чувствительности в малом, которое имеет вид

(8.219)

где

(8.220)

Начальным условием для этого выражения является соотношение

(8.221)

Подобное начальное условие позволит нам вычислить чувствительность действительной ковариационной матрицы и разности начальных дисперсий модели и действительного процесса. Заметим, что матричная функция чувствительности в малом может быть вычислена легче, чем чувствительность в большом. Однако последняя более полезна.

Матричная функция чувствительности в малом позволяет найти еще две величины, представляющие интерес. Можно найти матрицу разности между действительной ковариационной матрицей и ковариационной матрицей моде

(8.222)

где — число компонент вектора , a — дифференциальный оператор. Матрицу чувствительности в малом можно использовать также для нахождения чувствительности в малом функции риска тем же методом, который использовался при анализе чувствительности в большом. В результате чувствительность функции риска равна

(8.223)

Полученное выше выражение для чувствительности функции риска имеет такой же вид, который использовался в [202].

Для задач сглаживания также можно определить матричную функцию чувствительности

(8.224)

Так же, как и в случае фильтрации, «можно получить для этой функции следующие дифференциальные уравнения:

(8.225)

(8.226)

где

(8.227)

Кроме того,

(8.228)

Начальными условиями являются:

(8.229)

Аналогичные результаты для анализа чувствительности в малом можно получить и для алгоритмов сглаживания на фикшрован ном интервале. В табл. 8.9 ,и 8.10 приведены алгоритмы анализа ошибок и чувствительности для задач фильтрации и сглаживания на фиксированном интервале в непрерывном времени. Используя ту же методику, можно получить и дискретный аналог выведенных алгоритмов. Без вывода они даны в табл. 8.11 и 8.12.

Таблица 8.9. Алгоритм анализа ошибок и чувствительности для фильтрации в непрерывном времени

Предполагаемая модель сообщения

(8.178)

Предполагаемая модель наблюдения

(8.179)

Алгоритм фильтрации

(8.180)

Вычисление коэффициента усиления

(8.181)

Вычисление предполагаемой ковариационной матрицы ошибок

(8.182)

Предполагаемые априорные данные

(8.183)

Действительные априорные данные

(8.184)

Действительная ошибка фильтрации

(8.189)

Вычисление действительной ковариационной матрицы ошибок фильтрации

(8.203)

Вычисление моментов

(8.204)

(8.205)

Начальные условия

Вычисление чувствительности в большом

(8.216а)

(8.217а)

Вычисление чувствительности в малом [см. также (8.219), (8.221)] для вспомогательных результатов

(8.218)

Таблица 8.10. Анализ ошибок и чувствительности алгоритмов сглаживания на фиксированном интервале в непрерывном времени (алгоритмы фильтрации табл. 8.9 составляют общую часть алгоритмов этой таблицы)

Алгоритм сглаживания

(8.185)

Предполагаемая ковариационная матрица ошибок

(8.185)

Действительная ошибка сглаживания

(8.190)

Действительная ковариационная матрица ошибок

(8.207)

Вычисление моментов

(8.210)

(8.211)

Граничные условия

Вычисление чувствительности в большом

(8 2166)

(8 2176)

Вычисление чувствительности в малом [см также (8 225)—(8.229) для промежуточных результатов]

(8.224)

Таблица 8.11. Дискретные алгоритмы анализа ошибок и чувствительности фильтрации

Предполагаемая модель сообщения

Предполагаемая модель наблюдения

Алгоритм фильтрации

Алгоритм одношагового предсказания

Вычисление коэффициента усиления

Предполагаемая априорная матрица ковариаций ошибок

Предполагаемая ковариационная матрица ошибки

Вычисление ошибок

Предполагаемые данные

Действительные данные

Вычисление действительной ковариационной матрицы ошибок

Вычисление априорной действительной ковариационной матрицы

Вычисление априорной взаимной ковариационной

Вычисление взаимной ковариационной матрицы

Вычисление действительной матрицы ошибок

Начальные условия

Вычисление чувствительности в большом

Вычисление чувствительности в малом (дифференциальное уравнение для можно найти в [84])

Таблица 8.12. Дискретные алгоритмы анализа ошибок и чувствительности для сглаживания на фиксированном интервале (алгоритмы фильтрации табл. 8 11 составляют общую часть алгоритмов этой таблицы)

Алгоритм сглаживания

Вычисление коэффициента усиления

Вычисление предполагаемой ковариационной матрицы ошибок

Вычисление ошибки

Вычисление действительной ковариационной матрицы ошибок сглаживания

Вычисление моментов

Начальные условия

Чувствительность в большом

Чувствительность в малом (уравнение для можно найти в [84])

Поскольку получение предыдущих результатов заняло много места и времени, мы рассмотрим один простой пример, чтобы продемонстрировать разработанные идеи. Более сложные примеры можно найти в [82, 84].

Пример 8.3. Рассмотрим простой пример, в котором предположим, что модель процесса описывается соотношениями:

где предполагаемая дисперсия шума равна , а начальная дисперсия состояния есть Эта модель может описывать движение объекта на постоянной высоте, данные о которой снимаются с альтиметра и искажены белым шумом.

Уравнение для ковариационной матрицы ошибок фильтрации имеет вид Решение этого уравнения и, следовательно, коэффициент усиления .

Если предположить, что параметры и являются действительными, то ур-ние (8.203) для действительной ковариационной матрицы ошибок примет вид

где удовлетворяет уравнению

и . Ho есть дисперсия состояния и . Начальные условия . Решение приведенных уравнений дает:

Непосредственное использование (8.216) дает выражение для чувствительности в большом алгоритмов фильтрации:

Дифференциальные уравнения матричных функций чувствительности в малом можно получить из (8.219) н (8.220) в виде

где соответствует , или , при этом

с начальными условиями . Эти дифференциальные уравнения первого порядка легко решаются:

Эти соотношения можно также получить из действительной ковариационной матрицы, используя определение чувствительности.

На рис. 8.1 и 8.2 приведены для данного примера функции чувствительности в большом и в малом. Здесь выражения для чувствительностей в большом и малом одинаковы для исходной и вычисленной ковариационной матриц.

Рис. 8.1. Функции чувствительности дисперсии ошибки в зависимости от изменений начальной дисперсии ошибки и дисперсии измерений: фильтрация; ______ - сглаживание;

Рис. 8.2. Функции чувствительности при изменении константы измерений:

Зависимость чувствительности от параметра приведена на рис. 8.3, иллюстрирующем различие между чувствительностью в малом и большом.

В этом примере ковариационная матрица ошибок сглаживания при конечном условии . Отсюда следует, что ковариационная матрица ошибок не зависит от времени и получается из (8.203) для момента времени . Значения чувствительностей также постоянны и равны чувствительностям для фильтра в момент . Пунктирные кривые на рис. 8,1 представляют две функции чувствительности для задачи сглаживания.

Рис. 8.3. Сравнение чувствительности в большом и малом при изменении константы измерений.

«Вычисляемая» дисперсия ошибки фильтрации всегда уменьшается при увеличении времени наблюдения. Для численного анализа выражений для действительной дисперсии положим . Тогда «вычисленная» дисперсия ошибки равна , а следовательно, «вычисленная» дисперсия сглаживания и, как и следовало ожидать, от не зависит. В этом случае действительная дисперсия ошибки фильтрации определится выражением . Если , то это выражение совпадает с выражением для минимума дисперсии ошибки .

Интересно отметить, что действительная ошибка (дисперсия) не достигает нуля при больших t до тех пор, пока не станет равным нулю, что означает отсутствие ошибки в модели наблюдения. Для больших приближенно можно считать, что действительная дисперсия ошибки равна . На рис. 8.4 приведены графики действительных дисперсий ошибок и «вычисленных» дисперсий для случая, когда априорная статистика задана верно .

Если модель наблюдения не содержит ошибок, , то дисперсия ошибки . Если отношение , то имеем минимум дисперсии ошибки, соответствующий .

Анализ ошибок и чувствительности линейных алгоритмов сглаживания в фиксированной точке.

Предположим, что непрерывный процесс может быть задан векторным дифференциальным уравнением (8.178), а модель наблюдения линейна [см. (8.179)]

Рис. 8.4. Дисперсия ошибки фильтрации при разных ,;

Оценка сглаживания в фиксированной точке удовлетворяет дифференциальному уравнению

(8.230)

где

, (8.231)

а - матрица (обозначенная так для удобства), которая удовлетворяет уравнению

(8.232)

Начальным условием служит оценка фильтрации в момент и

. (8.233)

Ковариационная матрица ошибки оценивания может быть получена из уравнения

(8.234)

Эта матрица ошибок удовлетворяет ур-нию (8.234) только в том случае, если модель и ее априорные характеристики совпадают с действительным процессом и его характеристиками. На практике обычно это условие не выполняется. Поскольку действительная ковариационная матрица ошибок оценивания позволяет выявить ошибки при использовании неадэкватной модели, она играет основную роль в анализе ошибок и чувствительности алгоритмов сглаживания

В непрерывном времени действительная ковариационная матрица вычисляется следующим образом. Сначала постулируем модель для действительного процесса в том же виде, что и в ур-ниях (8.178), (8.179), за исключением того, что не ставим черты сверху. Далее находим дифференциальное уравнение для действительной ошибки оценивания подстановкой соотношений:

(8.235)

в (8.230), где действительные ошибки оценок фильтрации и сглаживания определены выражениями:

(8.236)

Тогда результирующее дифференциальное уравнение для ошибки оценивания имеет вид

(8.237)

Для простоты обозначений зависимость матриц от временного параметра не указана; определяется как разность между и . Следующий шаг состоит в образовании нового дифференциального уравнения для вектора приращений с использованием предыдущего уравнения, уравнения для действительной ошибки оценивания в случае фильтрации, которую мы рассмотрели в предыдущем параграфе, и дифференциального уравнения для действительного процесса:

, (8.238)

где

(8.239)

Матрицы и были определены в предыдущем параграфе. Далее выпишем решение ур-ния (8.238):

, (8.240)

где удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

. (8.241)

Затем необходимо усреднить произведение вектора на транспонированный вектор . Тогда получим

(8.242)

В последнем выражении два средних (внутренних) интеграла равны нулю, так как среднее в подынтегральных выражениях для всех , больших равно нулю. Среднее в последнем члене (8.242) можно представить в виде

(8.243)

Если взять внутренний интеграл в последнем слагаемом (8.242), то, используя свойства дельта-функции, можно получить

(8.244)

Члены этого уравнения содержат искомые ковариационные матрицы. Однако численное решение этого уравнения затруднительно. Эти трудности можно обойти, если найти дифференциальное уравнение для . Его можно получить следующим образом. Сначала берется производная от обеих частей ур-ния (8.244). Далее в полученное уравнение подставляется ур-ние (8.241). Наконец используя (8.240), находим

(8.245)

По определению имеем

(8.246)

где

(8.247)

а определено соотношением (8.204). Дифференциальное уравнение для действительной ковариационной матрицы ошибки сглаживания имеет вид

(8.248)

где и удовлетворяют уравнениям:

(8.249)

(8.250)

Начальными условиями являются:

(8.251)

Дифференциальные уравнения для , и даны в предыдущем разделе совместно с результатами фильтрации.

Как только действительные ковариационные матрицы ошибок найдены, матричные функции чувствительности в большом можно определить из соотношения

(8.252)

По определению есть разность между параметрами действительного процесса и параметрами модели, используемой для нахождения оценки сглаживания. Так же, как и в случае сглаживания на фиксированном интервале, функции чувствительности могут быть использованы для нахождения чувствительности в большом функции риска.

Дифференциальная матричная функция чувствительности (чувствительность в малом) 'находится из выражения

(8.253)

Символом обозначено множество параметров действительного процесса; - соответствующее множество параметров модели оценивания; -й элемент множества . Если разности между истинными параметрами и параметрами модели малы, то функции чувствительности в малом могут быть использованы для нахождения матрицы разностей между ковариационными матрицами модели и процесса. Эта матрица определяется как где — число параметров множества , а — дифференциал -го параметра множества .

Прямое вычисление (8.254) если не невозможно, то затруднительно, потому что почти не существует аналитических решений для действительных матриц ковариаций. Если взять частную производную от обеих частей ур-ния (8.248), то можно найти дифференциальные уравнения, решением которых является искомая функция чувствительности. Если после этого поменять порядок дифференцирования, то получим

(8.254)

где и удовлетворяют уравнениям:

(8.255)

(8.256)

В ур-нии (8 255) член появляется в результате анализа чувствительности в малом задачи фильтрации, а ур-ние (8.219) представляет алгоритм для его вычисления. Для указанных трех уравнений начальными условиями являются:

(2.857)

Пример 8.4. Рассмотрим упрощенную модель, в которой принимаемый амплитудно модулированный сигнал аддитивно взаимодействует с белым шумом. Пусть полезный сигнал имеет вид где и — нормальные случайные величины с нулевыми средними и дисперсиями и соответственно. Этот сигнал модулирует несущую, так что наблюдаемое колебание имеет вид Здесь предполагается, что — белый нормальный шум с нулевым средним и интенсивностью . Необходимо оценить сигнал в момент t по наблюдаемой реализации на интервале от нуля до . Задачу можно решить методом сглаживания в фиксированной точке, формулируя ее в терминах состояний. Такое переопределение задачи приводит в конечном счете к векторному дифференциальному уравнению.

где элемент есть сигнал . Вектор измерений равен

На рис. 8.5-8.7 представлены результаты некоторых вычислений. Здесь дисперсии величин и равны единице, а дисперсия шума равна 0,25. Частоты сигнала и несущей равны 6,28 и 62,8 1/с соответственно. В этих предположениях дисперсия ошибок иллюстрируется рис. 8.5.

Рис. 8.5. Дисперсия ошибок оценки сигнала с момента 0,2 с для различных значений дисперсии шума наблюдений: 1 — действительная дисперсия; 2 — предполагаемая дисперсия

Рис. 8.6. Чувствительность дисперсии ошибки оценки сигнала к 10%-ному изменению несущей частоты в зависимости от времени наблюдения

Рис. 8 7. Дисперсия ошибки оценки сигнала для различных значений несущей частоты: 1— действительная дисперсия; 2 — предполагаемая дисперсия

Здесь дисперсия ошибки предсказания сигнала в момент 0,2 с [вычисленная по (8.248)] приведена как функция времени, при котором появляются иовые наблюдения. На рис 8 6 представлен график функции чувствительности в большом дисперсии ошибки оценки для случая, когда истинная частота сигнала на 10% выше предполагаемой. Влияние ошибки в выборе частоты несущей показано на рис. 8.7.

Алгоритмы анализа для сглаживания в фиксированной точке в непрерывном времени сведены в табл. 8ЛЗ, а для дискретного случая в табл. 8.14.

Таблица 8.13. Алгоритмы анализа ошибок и чувствительности для сглаживания в фиксированной точке в непрерывном времени (алгоритмы фильтрации табл. 8.9 составляют общую часть алгоритмов этой таблицы)

Алгоритмы сглаживания

(8.230)

Вычисление моментов

(8.231)

(8.232)

Вычисление предполагаемой ковариационной матрицы ошибок

(8.234)

Вычисление предполагаемой ковариационной матрицы ошибок

(8.234)

Действительная ошибка сглаживания

(8.236б)

Действительная ковариационная матрица ошибок сглаживания

(8.248)

Вычисление моментов

(8.249)

(8.250)

Начальные условия

Чувствительность в большом

(8.252)

Чувствительность в малом

(8.253)

[см (8.254) – (8.257) для получения промежуточных результатов]

Таблица 8.14.Алгоритмы анализа ошибок и чувствительности алгоритмов сглаживания в фиксированной точке в дискретном времени (алгоритмы фильтрации табл 8.11 составляют общую часть алгоритмов этой таблицы)

Алгоритм сглаживания

Вычисление коэффициента усиления

Вычисление предполагаемой ковариационной матрицы сглаживания

Вычисление ошибки

Вычисление действительной ковариационной матрицы ошибок сглаживания

Вычисление моментов

Начальные условия

Чувствительность в большом

Чувствительность в малом

Дифференциальное для дано [82]

Вычисление соответствующих алгоритмов для сглаживания с фиксированной задержкой мы оставляем в качестве упражнения для заинтересованного читателя. Теперь основное внимание будет уделено вычислению границ ошибок для ковариационных матриц ошибок фильтрации и сглаживания.

Границы ошибок. Нишимурой [175] были найдены границы дисперсии ошибок при использовании алгоритма фильтрации Калмана — Бьюси. Основной результат содержится в следующей теореме:

если и для всех из интервала , то

(8.258)

для всех . Элементы и являются диагональными элементами матриц и соответственно. Знак означает, что матрица левее этого знака положительно полуопределена.

Следовательно, если приведенные выше соотношения выполняются, то существует верхняя грань дисперсии ошибки сглаживания в точке даже в том случае, если дисперсия истинного процесса 'неизвестна. Теорема, данная выше, применима только к непрерывным уравнениям сглаживания в точке. Однако, поскольку время произвольно и может принимать любые значения внутри интервала то результат этой теоремы оказывается справедливым и для уравнений сглаживания на заданном интервале и с фиксированной задержкой. Конечно, можно установить соответствующие условия и для дискретных алгоритмов сглаживания.

Проверить указанную теорему можно, выписав дифференциальные уравнения, которым должны удовлетворять действительные ковариационные матрицы. Для алгоритмов фильтрации— это ур-ние (8.203) при условии, что :

(8.259)

где и матрицы размера и , определяемые моделью (8.178), а -мерный вектор измерения , где матрица размера , а - матрица коэффициентов усиления фильтра Калмана размера . Предполагается, что реальный процесс представляется той же самой моделью, за исключением того, что процессы и заменяются на и .

В такой ситуации, когда единственным отличием модели оценки от реального процесса является различие в ковариационных матрицах, (8.248) сводится к уравнению

(8.260)

где . Матрицы и удовлетворяют ур-ниям (8.249) и (8.232). Поскольку модели сообщения и наблюдения не содержат ошибок, то из (8.250) равно нулю. Определим

(8.261)

а затем для найдем дифференциальное уравнение

(8.262)

где

(8.263)

Далее, если определено как , то , , и можно найти уравнение для , представляющей разность между матрицами и :

(8.264)

Решение этого уравнения можно записать в виде

(8.265)

где

(8.266)

Теперь, если и для всех из интервала наблюдения , то и, следовательно, матрица, представляющая интегральный член ур-ния (8.265), должна быть положительно полуопределена. Если , то и тогда первый член в правой части (8.265) тоже положительно полуопределенная матрица. Отсюда следует, что матрица тоже положительно полуопределена. Но верхние диагональные элементы откуда следуют ур-ние (8.178) и справедливость указанной теоремы.

Пример 8.5. Предположим, что необходимо передать сигнал известной частоты с неизвестной амплитудой и фазой. Принимаемый сигнал может быть записан в виде, экспоненциально-коррелированный шум, а белый шум. Шум моделирует случайный процесс, возникающий при передаче, а шум приемника. Мы хотим оценить сигнал на некотором интервале времени Запишем сигнал в виде Модель состояний для такого сигнала и аддитивного шума можно определить следующим образом:

здесь представляет записанный в измененном виде сигнал, есть , а .

Оптимальная оценка сигнала не обязательно является оптимальной оценкой амплитуды и фазы, но обязательно является оптимальной оценкой мгновенных значений сигнала. Предполагаемые параметры модели состояний и наилучшие оценки априорных дисперсий равны, , и . В этом примере предполагается, что сигнал не связан с шумом. Для получения оценок из ур-ния (8.58) используются параметры, значения которых равны четырехкратным значениям тех параметров, которые были выбраны в качестве априорных дисперсий.

Рис. 8.8. Дисперсии ошибок для различных ; 1 – предполагаемая, 2,3,4 – действительная:

фильтрация, ______ сглаживание; - ; ;

Рис. 8 9 Дисперсия ошибки оценки при различных : фильтрация, ______ сглаживание

На рис. 8.8 приведены графики вычисленной и истинной дисперсии ошибок оценки сигнала (сигнала ) для случаев оптимальной фильтрации и сглаживания на фиксированном интервале. Три нижние кривые получены варьированием начального значения дисперсии действительного процесса На рис. 8.9 представлены графики действительной дисперсии ошибок оценки сигнала для различных значений дисперсий белого шума В этом примере дисперсия ошибки оценки сигнала почти не зависит от изменений действительной дисперсии процесса , поэтому мы не приводим эту зависимость. Значительные ошибки при выборе априорных дисперсий и вызывают существенные увеличения дисперсий ошибки оценивания реального сигнала, которые намного больше оптимального значения дисперсии. Но в силу сформулированной выше теоремы действительные дисперсии все равно находятся ниже уровня, определяемого верхней гранью вычисленных дисперсий ошибок оценивания.