10.4. Оценка помехоустойчивости приёма в целом

Для сравнения помехоустойчивости поэлементного приёма и приёма в целом выведем некоторые общие соотношения. Пусть результатом демодуляции -го элемента кодовой комбинации является некоторая величина  . При поэлементном приёме в первой решающей схеме каждая из величин  заменяется символом «0» (если ) или «1» (если ), в результате чего получается некоторая кодовая комбинация. При избыточном кодировании эта комбинация может входить или не входить в число разрешённых (используемых в данном коде). В первом случае она непосредственно преобразуется в соответствующую букву сообщения. Во втором случае в зависимости от построения второй решающей схемы происходит либо обнаружение ошибки (с последующим автоматическим запросом или просто с фиксацией наличия ошибки), либо «исправление» ошибки, т. е. отождествление принятой кодовой комбинации с ближайшей по (Хеммингу) разрешённой комбинацией. В соответствии с этим будем подразделять методы поэлементного приёма на приём с обнаружением и приём с исправлением ошибок. Оба метода возможны при любом коде с избыточностью.

В случае приёма в целом величины  умножаются на коэффициенты    и принятый сигнал отождествляется с -й буквой алфавита сообщения, если

для всех .

Произведение  при наличии помех является случайной величиной. Математическое ожидание этой величины (при передаче -й буквы алфавита сообщения) всегда положительно, поскольку при достаточно малых помехах , а при очень сильной помехе вероятности того, что  и , приблизительно одинаковые. При флюктуационной помехе, а также в большинстве случаев и при сосредоточенных помехах плотность вероятности этой величины  унимодальна, т. е. имеет один максимум (рис. 10.4). При этом, как правило, плотность вероятности  в точках больше, чем в точках , т.е.

.             (10.17)

При импульсных помехах и некоторых особых видах помех это условие может нарушаться. Ограничимся пока случаем помех, для которых можно считать условие (10.17) выполненным. Его можно распространить на сумму нескольких значений (по индексу ), т. е. утверждать, что при

 .                   (10.17а)

Будем также полагать величины  взаимно некоррелированными.

Введём следующие обозначения:

 – вероятность того, что при поэлементном приёме кодовая комбинация принята с ошибкой (независимо от того, можно ли эту ошибку исправить или хотя бы обнаружить);

 – вероятность того, что при поэлементном приёме с исправлением максимально возможного числа ошибок произошла неисправленная ошибка;

 – вероятность того, что комбинация принята ошибочно при приёме в целом по правилу (10.15а);

 – вероятность того, что при поэлементном приёме с обнаружением ошибок произошла обнаруженная ошибка.

Докажем следующую теорему:

При любом коде, если выполнено условие (10.17а), имеет место неравенство

,                  (10.18)

причём оно переходит в равенство только при коде без избыточности.

Смысл этой теоремы заключается в том, что при кодировании с избыточностью помехоустойчивость приёма в целом выше помехоустойчивости поэлементного приёма с исправлением ошибок, но уступает помехоустойчивости поэлементного приёма с обнаружением ошибок и переспросом по каналу обратной связи. В случае кода без избыточности приём в целом не имеет никаких преимуществ перед поэлементным приёмом.

Для доказательства предположим, что передаётся -я кодовая комбинация, и рассмотрим условия, при которых реализация помехи может превратить её в некоторую конкретную q-ю комбинацию. В результате обработки сигнала получены значения   и вычислены произведения  и . Пусть хеммингово расстояние между двумя рассматриваемыми комбинациями равно . Тогда среди коэффициентов  существует только  несовпадающих с коэффициентами  при тех же индексах .

При поэлементном приёме обнаруженная или необнаруженная ошибка произойдёт в том случае, если хотя бы одно из этих  произведений  окажется отрицательным. Назовём это событие  и обозначим его вероятность .

При поэлементном приёме с исправлением ошибок неисправленная ошибка будет иметь место, если более чем  произведений  (соответствующих тем , для которых  и  не совпадают) окажутся отрицательными. Очевидно, что при этих значениях  величины  будут положительными. Обозначим это событие , а его вероятность .

При поэлементном приёме с обнаружением ошибок (без их исправления) необнаруженная ошибка будет иметь место, если каждое из  произведений, соответствующих тем , для которых , окажется отрицательным. Пусть это событие  имеет вероятность .

Очевидно, если происходит событие , то всегда имеют место и события и . Если же происходит событие , то всегда имеет место событие . Отсюда

.             (10.19)

Равенства имеют место только при , так как в этом случае события ,  и совпадают.

При приёме в целом -я комбинация будет принята ошибочно, если для некоторой -й комбинации

,               (10.20)

где суммирование ведётся по тем индексам , для которых , что символически показано индексом  под знаком суммы. Назовём выполнение неравенства (10.20) событием  и обозначим его вероятность через .

Так как  принимает значения только , то из  следует, что . Поэтому неравенство (10.20) можно переписать так:

или

,               (10.21)

где суммирование по-прежнему производится только по элементам , отличающимся в - и

-комбинациях.

Из (10.21) видно, что если происходит событие , то всегда будет происходить событие , откуда

,                     (10.22)

причём равенство имеет место только при , когда  и  совпадают.

Докажем теперь, что . В отличие от рассмотренных ранее случаев, события  и  не вытекают одно из другого. Они могут иметь место одновременно, но может происходить и одно из этих событий без другого. Соотношения между событиями , ,  и  схематически показаны на рис. 10.5.

Будем обозначать через  событие, противоположное событию . Вероятность  и можно представить в следующем виде

              (10.23)

Для того чтобы доказать, что  достаточно показать, что

                      (10.24)

Пусть дана некоторая реализация величин , при которой имеет место событие  и не имеет места событие .

Рис. 10.5. Соотношения между событиями и

Это значит, что из рассматриваемых  произведений  половина или больше половины положительны и в тоже время

Рассмотрим теперь «симметричную» реализацию:  для тех , при которых  и  для тех , при которых . Для новой реализации половина или больше половины из рассматриваемых  произведений  отрицательны, и, следовательно,  имеет место. С другой стороны  а это означает, что  не имеет места.

Согласно условию (10.17а) плотность распределения вероятности для реализации  больше, чем для . Таким образом, каждой реализации, в которой выполняется  и не выполняется , соответствует симметричная более вероятная реализация, в которой выполняется  не выполняется . Отсюда вытекает неравенство (10.24), и, следовательно,

.                     (10.25)

Знак равенства имеет место при , тогда

 

и

Объединяя (10.19), (10.22) и (10.25), получаем неравенство

,                (10.26)

где равенства имеют место при расстоянии  между -й и -й комбинациями.

Поскольку (10.26) справедливо для любой пары кодовых комбинаций, то, усредняя его по всем возможным парам, получаем (10.18):

,

причем равенства имеют место в том случае, когда для любой пары соседних комбинаций , т. е. когда код не имеет избыточности, что и требовалось доказать.

Зная характеристики канала и код, можно всегда вычислить вероятности ,  и получить двухстороннюю оценку . Однако интервал между  и  часто оказывается очень широким и для уточнения  полезны и другие оценки. Приведем одну такую оценку для канала с некоррелированными ошибками.

Пусть  — минимальное хеммингово расстояние кода, а  — вероятность того, что для случайно выбранных  элементов выполнено неравенство (10.21). Рассмотрим все образцы необнаруживаемых ошибок, т. е. переводящих передаваемую комбинацию в другую разрешенную комбинацию. Число таких образцов равно , где  — число кодовых комбинаций, а наименьший вес такого образца равен . Назовем два образца ошибок непересекающимися, если и в одном разряде они не имеют одновременно единиц. Под суммой двух непересекающихся образцов будем понимать просто их поразрядную сумму. Обозначим через т число образцов необнаруживаемых ошибок, которые нельзя представить в виде суммы непересекающихся образцов также необнаруживаемых ошибок. Тогда справедлива оценка

.                     (10.27)

Доказательство приведено в примечании 3 к настоящей главе.

При небольших значениях  эта оценка достаточно хорошо характеризует вероятность ошибок при приеме в целом. Вычисление  можно обычно свести к вычислению вероятности ошибок при разнесенном приеме.