10.5. Примеры

Для сравнения приема в целом с поэлементным приемом приведем два простых примера.

Пример 1. Найдем зависимости , , и  от вероятности ошибки при поэлементном приёме для кода (3.1). Этот код является самым простым из кодов, позволяющих при поэлементном приёме исправлять ошибки. Он содержит комбинацию 000 и 111. Будем полагать, что вероятность ошибочного приёма элемента  известна и что ошибки при поэлементном приёме происходят независимо друг от друга (т.е. что канал постоянный либо ошибки декоррелированы путём разнесения элементов комбинации по времени).

При этих условиях

                 (10.28)

Полученные зависимости показаны на рис. 10.6.

Величину  (вероятность ошибки при приёме в целом) найдём отдельно для случая когерентного приёма и двух случаев некогерентного приёма. При когерентном приёме  совпадает с вероятностью ошибочного приёма элемента утроенной длительности. Поэтому в соответствии с (3.61)

                         (10.29)

Рассматривая в этих равенствах  как параметр, можно построить зависимость  от  (кривая а на рис. 10.6.).

Для некогерентного приёма с когерентным накоплением, полагая сигналы, соответствующие символам 0 и 1, ортогональными в усиленном смысле, получаем

                       (10.30)

При этом условии и полные сигналы, соответствующие комбинациям 000 и 111, также взаимно ортогональны, но имеют утроенную длительность. Поэтому

                 (10.31)

откуда

                           (10.32)

(кривая б на рис.10.6).

Случай некогерентного накопления рассмотрим на примере канала с релеевскими замираниями, полагая, что элементы кодовой комбинации разнесены достаточно для полной декорреляции.

Рис. 10.6. Зависимость вероятностей ошибочного приёма кодовой комбинации от вероятности ошибочного приёма символа для кода (3,1).

В этом случае  можно определить как вероятность ошибки при строенном приёме с разнесением по времени. Из (6.38) найдём

                    (10.33)

(кривая в на рис. 10.6).

Во всех трёх случаях, как видно из рисунка подтверждается неравенство (10.18).

Пример 2. Вычислим  и  и найдём оценку для  при коде Хемминга (6,5), позволяющем обнаруживать любое нечётное число ошибок в комбинации из 6 символов. Для этого кода  и  При поэлементном приёме, как легко убедиться (полагая ),

                (10.34)

где  - вероятность ошибки, равная при некогерентном приёме и отсутствии замираний

                       (10.35)

Вероятность  в схеме когерентного накопления можно определить как вероятность ошибочного приёма элемента двойной длительности:

                       (10.35а)

Воспользуемся для оценки  снизу неравенством (10.18), согласно которому , а для оценки сверху – неравенством (10.27). Тогда

                     (10.36)

На рис. 10.7 показаны зависимости  и  от , вычисленные путём подстановки (10.35) в (10.34), а также область возможных значений , полученная с помощью указанных оценок.

Рис. 10.7. Вероятность ошибочного приёма кодовой комбинации для кода (6,5) в отсутствие замираний.

При медленных релеевских замираниях  и  вычисляются с помощью усреднения (10.34) по . При этом предполагается, что на протяжении приёма кодовой комбинации практически не успевает измениться. В случае, когда  (математическое ожидание величины ) достаточно велико, получаются следующие приближенные выражения:

                               (10.37)

В данном случае  и  настолько близки друг к другу, что они дают достаточно точную оценку для  в соответствии с (10.18).

Если в канале с релеевским замираниями приняты меры по декорреляции ошибок и величины  для элементов сигнала можно считать независимыми, то согласно (5.17а)

.                (10.38)

В этом случае приём в целом возможно осуществить методом некогерентного накопления и величина  определяется как вероятность ошибки при сдвоенном приёме [см. (6.37)]:

                     (10.39)

Подставляя (10.38) в (10.34), определяем зависимости  и  от . Для получения оценки  сверху нужно подставить (10.39) в (10.27). Результаты для канала с релеевскими замираниями представлены на рис. 10.8.

Рис. 10.8. Вероятность ошибочного приёма кодовой комбинации для кода (6,5) при релеевских замираниях:   - медленные замирания без декорреляции; ------------ - замирания с декорреляцией ошибок.

Анализируя их, следует отметить, что декорреляция ошибок является необходимым условием эффективного использования избыточности данного кода не только при поэлементном приёме, но и при приёме в целом.

Аналогично можно получить оценки верности приёма в целом для других кодов.