Оценки вероятностей ошибок

Прежде чем перейти к описанию других разновидностей систем с переспросом в дискретном канале, остановимся на вычислении вероятностей обнаруженных и необнаруженных ошибок. Будем полагать при этом, что параметры канала постоянны либо меняются медленно, так что на протяжении длительности одной кодовой комбинации вероятность  ошибочного приема символа можно считать постоянной, либо, наконец, параметры канала меняются очень быстро, или применены методы декорреляции ошибок, так что ошибки в пределах комбинации практически независимы и определяются некоторой средней вероятностью .

Даже при таких упрощающих предположениях вычислить вероятность необнаруженной ошибки не всегда удается. Конечно, при малом объеме кода можно перебрать все образцы ошибок, переводящих одну разрешенную комбинацию в другую, и вычислить их совместную вероятность. Для групповых кодов задача несколько облегчается тем, что если некоторый образец ошибки вызывает необнаруженную ошибку, то он совпадает с одной из кодовых комбинаций. Это видно из того, что групповой код содержит комбинацию, состоящую из одних нулей, и для того, чтобы она перешла в какую-либо из разрешенных комбинаций, необходимо и достаточно, чтобы ошибки произошли в тех разрядах, в которых эта комбинация содержит единицы. Из свойств симметрии группового кода следует, что этот же образец вызовет необнаруженную ошибку при передаче любой кодовой комбинации. Поэтому для вычисления , при двоичном групповом коде достаточно знать список весов кода, т. е. число кодовых комбинации , имеющих вес (количество единиц) . Очевидно, что вероятность возникновения образца ошибки, совпадающего с одной из кодовых комбинаций, равна

                       (11.6)

К сожалению, список весов вычисляется аналитически только для кодов Хемминга с  и  [13], а также для кодов Рида-Мюллера [28]. Для других кодов его можно определить только перебором всех комбинаций, что практически возможно лишь при небольшом объеме. Так, при  число кодовых комбинации превышает  и такой перебор возможен только с помощью электронной вычислительной машины, а при  эта задача становится непосильной и для машины, хотя для циклических кодов с  кодер и декодер, обнаруживающий ошибки, вполне выполнимы.

Для кодов с большим  и  приходится пользоваться только оценками для . Некоторые такие оценки приведены в [14]. Если помимо  и  известно минимальное хеммингово расстояние , то удобно пользоваться оценками [15]:

                         (11.7)

Вторая из этих оценок более точна, но требует при больших  вычислений на машине.

Представляет интерес значение  - вероятность необнаруженной ошибки в двоичном канале при , т. е. при полном обрыве связи. В этом случае на выходе решающей схемы с равной вероятностью возникает любая последовательность кодовых символов и вероятность необнаруженной ошибки равна отношению числа разрешенных комбинаций  к общему их числу :

                           (11.8)

В частности, для -кода,  и , откуда

.             (11.8а)

При большой разности  вероятность необнаруженной ошибки при обрыве связи может быть весьма малой, например , если . Конечно, при этом информация передаваться не может, так как из-за большого значения  эквивалентная вероятность ошибки . Однако благодаря малой величине  такая система допускает относительно длительные обрывы связи, в течение которых получателю не выдается ложная информация. Это является одним из основных достоинств рационально построенной системы с обратной связью.

Что касается вероятности обнаруженной ошибки , то ее приближенное значение легко получить из (11.1), если учесть, что , а . Последнее неравенство выполняется при любом разумном коде, так как в противном случае применение системы с переспросом потеряло бы смысл. Таким образом,

.                 (11.9)

Рис. 11.1. Основные параметры системы с переспросом при коде Хемминга (7, 4)

Рис. 11.2 Основные параметры системы переспросом при коде Боуза-Чоудхури (63, 45)

На рис. 11.1 показаны зависимости , ,  и  от , вычисленные по формулам (11.9), (11.6), (11.5), (11.4) для кода Хемминга (7.4). Такие же зависимости для кода Боуза-Чоудхури [65, 43] показаны на рис. 11.2, где вместо неизвестных точных значений  использовались оценки (11.7), так что значения  и  завышены. К обсуждению этих результатов мы еще вернемся.