3.3. Правило решения и решающая схема

Пусть на вход приемника поступает сигнал вместе с помехой . Рассмотрим случаи, когда помехой является нормальный белый шум. На приемной стороне в точности известны передаваемые сигналы   соответствующие каждому символу, а также априорные вероятности  передачи каждого символа *. Согласно критерию идеального наблюдателя первая решающая схема должна выбрать из  символов тот, который имеет наибольшую апостериорную вероятность.

Найдем сначала условную плотность вероятности приема сигнала  при условии, что передавался некоторый определенный сигнал . В соответствии с (3.3) коэффициенты ряда Фурье белого шума при условии, что передавался сигнал , равны

                                                         

                                             (3.17)

Рассмотрим коэффициенты , , , ,  и  с индексами , где  - сколь угодно большое, но конечное число. Для белого шума  и  — взаимно независимые случайные величины с нормальным распределением вероятностей, с нулевым средним значением и с дисперсией . Совместная -мерная плотность вероятностей этих коэффициентов равна

      (3.18)

Условная плотность вероятности коэффициентов , при условии, что передавался  сигнал , представляет собой не что иное, как плотность вероятностей (3.18) величин  , , выраженных в виде разностей (3.17):

    (3.19)

Апостериорная вероятность передачи символа  или сигнала  согласно (1.18) равна

                  (3.20)

По критерию идеального наблюдателя должен быть выбран такой символ , который имеет наибольшую апостериорную вероятность. Так как знаменатель в  (3.20) не зависит от , то достаточно сравнить числители этого выражения для всех возможных сигналов . Следовательно, решающая схема, построенная согласно критерию идеального наблюдателя и анализирующая коэффициенты ряда Фурье принятого сигнала с частотами до  должна выбирать символ , если при всех  для данной реализации

                         (3.21)

или

      (3.22)

Произведя сокращения и логарифмирование, получаем эквивалентное неравенство, выражающее правило решения:

                                    (3.23)

при всех .

Для решающей схемы, анализирующей принятый сигнал полностью, правило решения может быть получено из (3.23) путем перехода к пределу при

                                   (3.23а)

при всех .

Это же правило может быть представлено в интегральной форме

       (3.24)

В этом легко убедиться, подставляя в подынтегральные выражения значения  и  в виде рядов (3.2). Учитывая ортогональность тригонометрических функций,

      (3.25)

откуда после простых преобразований следует эквивалентность неравенств (3.24) и (2.23а).

Правило решения в интегральной форме (3.24) было впервые получено В.Л. Котельниковым [1]. В частном случае, когда априорные вероятности символов одинаковы, , это правило принимает простую форму

                         (3.24а)

означающую, что решающая схема должна выбирать тот из ожидаемых сигналов , который имеет наименьшее среднее квадратичное отклонение от принятого сигнала . В этом случае неравенство (3.23а) принимает форму

    (3.23б)

Заметим, что в (3.23а) и (3.23б) фактически достаточно учитывать только те слагаемые, для которых  или  не равны тождественно нулю (при всех ), так как остальные слагаемые оказываются одинаковыми в обеих частях неравенств. Другими словами, число коэффициентов ,  принимаемого сигнала, имеющих значение при принятии решения о переданном символе, равно базе системы (3.5).

Очевидно, что правило (3.23б) или эквивалентное ему (3.24а), может быть получено и при произвольных значениях априорных вероятностей символов, если принять критерий максимального правдоподобия, а не идеально го наблюдатели. Обратим внимание на то, что это правило в отличие от (3.24) не требует знания интенсивности помех, определяющей дисперсию . В этом заключается еще одно достоинство критерия максимального правдоподобия.

Рис. 3.2. Решающая схема, реализующая критерии идеального наблюдателя (критерий Котельникова).

На рис. 3.2 изображена функциональная схема устройства, действующего в соответствии с правилом решения (3.24). Принимаемый сигнал  поступает на  вычитающих устройств, к каждому из которых подводится в качестве вычитаемого напряжения  от одного из  имитаторов ожидаемых сигналов. Эти напряжения  должны точно воспроизводить форму и величину (масштаб) принимаемых сигналов и точно совпадать с ними во времени. Напряжения с вычитающих устройств возводятся в квадрат в соответствующих нелинейных цепях с квадратичной характеристикой и интегрируются, например, заряжая через большие сопротивления конденсаторы без утечек. В момент  напряжения с конденсаторов поступают на схему сравнения, устроенную, так, чтобы выдавать на выходе номер конденсатора, имеющего наименьшее напряжение. Очевидно, что в результате этих операции определяется тот  символ, который удовлетворяет неравенству (3.24а). После этого конденсаторы разряжаются путём мгновенного закорачивания и схема оказывается готовой к приёму следующего элемента сигнала. В случае, когда символы не равновероятны, вместо разряда конденсаторов их следует заряжать до напряжения, численно равного . При этом, как легко убедиться, схема будет работать в соответствии с правилом (3.24).

Рассмотренная схема, конечно, не пригодна для применения на практике. В частности, с помощью нелинейной цепи очень трудно осуществить точное возведение в квадрат. Эту трудность можно, однако, обойти, преобразовав правило приёма (3.24а) или (3.23б). Раскрыв скобки, произведя сокращения и введя обозначения

                                      (3.26)

получим эквивалентное неравенство

                                                        (3.27)

при всех .

Здесь  — средняя мощность сигнала  на входе приемника, а  представляет собой удвоенное скалярное произведение принимаемого сигнала  на ожидаемый сигнал .

Функциональная схема (рис. 3.3), построенная по неравенству (3.27), содержит   перемножителей, на которые поступают принимаемый сигнал  и напряжения   с имитаторов сигнала. Напряжения с выхода каждого перемножителя интегрируются и результат интегрирования подастся на вычитающее устройство, в котором из него вычитается величина . В момент  напряжения со всех вычитающих устройств сравниваются между собой в устройстве сравнения, которое выдаст номер того символа, для которого напряжение, превышает остальные напряжения . После этого производится сброс напряжений в интеграторах и схема  готова  к  приёму следующего элемента сигнала.

Рис. 3.3. Вариант решающей схемы, реализующей критерий идеального наблюдателя.

Существенное упрощение правила решения и функциональной схемы может быть получено, если сигналы  выбраны так, что их энергии (или средние мощности) одинаковы  Тогда неравенство  (3.27) принимает следующую простую форму:

                                             (3.28)

при всех , а в схеме рис. 3.3 могут быть опущены вычитающие устройства, показанные пунктиром. Однако этим не ограничивается получаемое упрощение. Неравенство (3.28) отличается от (3.27) тем, что оно не зависит от коэффициента передачи  и, следовательно, при сигналах с равными энергиями для осуществления оптимального приёма по критерию идеального наблюдателя не требуется априорного знания «масштаба» ожидаемых сигналов, а нужно лишь знание их формы. Сигналы, генерируемые имитаторами, должны совпадать с ожидаемыми сигналами  по форме и, разумеется, должны быть строго синхронизированы. Что же касается “масштаба” имитирующих сигналов, то он может быть произвольным, наиболее удобным для практической реализации, лишь бы он был одинаковым на всех имитаторах. Действительно, увеличив напряжения всех имитаторов в  раз, мы во столько же раз увеличим  и  и, следовательно, не повлияем па выполнение неравенства (3.28).

Как будет видно из дальнейшего, это ценное свойство систем, в которых энергия элемента сигнала не зависит от передаваемого символа (возможность оптимального приёма без априорного звания коэффициента распространения и даже мощности излучаемого сигнала), сохраняется и для каналов с переменными параметрами. Такие системы условимся называть системами с активной паузой.

Рассмотренные схемы содержат элементы с переменными параметрами (закорачиваемые конденсаторы). Можно, однако, преобразовать эти схемы так, чтобы они содержали только элементы с постоянными параметрами и в то же время функционировали в соответствии с правилами приема (3.27) или (3.28) (для систем с активной паузой). Этот вариант отличается от рассмотренных тем, что на выходе каждого перемножителя вместо интегрирующей ёмкости включен линейный фильтр с импульсной реакцией

                                                    (3.29)

Такой фильтр является физически реализуемым. Напряжение на выходе фильтра в момент  согласно теореме Дюамеля [6] будет равно

        (3.30)

где  — принимаемый сигнал; — напряжение  местного генератора (имитатора сигнала).

К концу тактового интервала напряжение на выходе фильтра представляет собой результат интегрирования за время приема этого элемента. В этот момент напряжения на выходах фильтров (или вычитающих устройств) сравниваются между собой и воздействуют на регистрирующее устройство.

Рис. 3.4. Схема интегрирующего фильтра.

Следует отметить, что с точки зрения требований к синхронизации этот вариант не имеет преимуществ перед схемой рис. 3.3. Если в схеме с интегрированием на ёмкости нужно в определенные моменты времени замыкать интегрирующие цепи, то в схеме с оптимальным фильтром после перемножителя нужно в определённые моменты времени подавать напряжение на регистрирующее устройство, причем требования к точности синхронизации в обоих случаях одинаковые. Оптимальный фильтр (3.29) можно в принципе выполнить с помощью линии задержки, рассчитанной на время , например, так, как показано на рис. 3.4.

Приведём ещё один вариант построения решающей схемы (рис. 3.5), который также не содержит элементов с переменными параметрами и к тому же не требует применения имитаторов сигнала, вместо которых используются оптимальные согласованные фильтры.

Рис. 3.5. Решающая схема с согласованными фильтрами и когерентным отсчётом.

На рис. 3.5 принимаемый сигнал  поступает на  фильтров, согласованных соответственно с ожидаемыми формами сигнала  . Под фильтром, согласованным с сигналом ,  понимается фильтр, импульсная реакция которого

удовлетворяет условию

                                      (3.31)

т. е. представляет собой как бы зеркальное отображение сигнала  относительно оси ординат, сдвинутое вправо на величину  (рис. 3.6). Это же условие можно записать и в спектральной форме

                                  (3.32)

где — передаточная функция согласованного фильтра;  - произвольная постоянная;  — функция, комплексно-сопряженная спектральной плотности                               сигнала .

В эквивалентности (3.31) и (3.32) легко убедиться, если учесть, что  и  связаны между собой преобразованием Фурье.

Так как при  сигнал , то из (3.31) следует, что  при , если только . Как известно, при этом условии фильтр физически осуществим. В дальнейшем примем , что не отразится на общности результатов.

Заметим, что согласованный фильтр позволяет получить в момент  наибольшее отношение мгновенного значения сигнала на его выходе к среднему квадратичному значению помехи. Нас, однако, будет интересовать не это свойство, а возможность осуществить с его помощью схему, реализующую оптимальное правило решения и, следовательно, обеспечивающую наибольшую возможную вероятность правильного отождествления сигнала.

Рис.3.6 Сигнал (а) и импульсная реакция (б) согласованного с ним фильтра.

Напряжение на выходе согласованного фильтра в некоторый момент  согласно теореме Дюамеля равно

            (3.33)

Так как  то, учитывая, что при  и при  функция   ,  получаем

где введено обозначение .  В момент

         (3.34)

Подав напряжение  с выходов всех фильтров в момент  на схему сравнения, выбирающую тот символ , для которого получено наибольшее напряжение, получим схему, осуществляющую прием в соответствии с правилом (3.28).

Заметим, что при  напряжение на выходе согласованного фильтра, вызванное сигналом  действовавшим на интервале , равно нулю. Отсюда следует, что в момент отсчета при приеме последующего элемента на выходе согласованного фильтра отсутствует напряжение, вызванное предыдущими элементами сигнала.

Согласованный фильтр с передаточной функцией (3.32) представляет собой линейную цепь с постоянными параметрами. Иногда оказывается удобным отказаться от требования постоянства фильтра, что дает дополнительные возможности построения различных вариантов оптимальной решающей схемы. Идея их построения основана на том, что равенство (3.34) остается справедливым, если импульсная реакция фильтра удовлетворяет условию (3.31) только на интервале , а при  она может быть произвольной. Если на такой фильтр в момент  подать принимаемый сигнал , то в момент  можно снять с него отсчет, равный , поскольку в пределах интегрирования (3.34) значения  при  не участвуют.

Однако при таком фильтре будет уже несправедливо сделанное выше замечание о том, что его реакция на предыдущие элементы сигнала полностью затухнет к моменту отсчета для последующего элемента. Таким образом, (3.34) оказывается верным лишь для первого принимаемого элемента. Этот недостаток полностью устраняется, если после каждого отсчета приводить фильтр к нулевым начальным условиям, произведя гашение колебаний. Это можно осуществить, закоротив на мгновение все емкости фильтра и разомкнув его индуктивности. Тем самым такой фильтр становится цепью с переменными параметрами, периодически сбрасывающей накопленную в ее элементах энергию.

Удобно выбирать функцию  такого фильтра так, чтобы на интервале  она удовлетворяла условию (3.31), а при  продолжалась периодически. Другими словами, этот фильтр может быть согласован в смысле условий (3.31) и (3.32) с периодически продолженным сигналом .

В частном случае простой системы, когда  представляет отрезок синусоиды, таким фильтром является идеальный колебательный контур без затухания с резонансной частотой сор, совпадающей с частотой сигнала , закорачиваемый на мгновение после каждого отсчета. Практически применяют контур, затухание, которого много меньше . Такие контуры с переменными параметрами (с периодическим сбросом) получили название коммутируемых фильтров.

Все рассмотренные решающие схемы позволяют в момент отсчета  получить на входе схемы сравнения напряжения, равные (с точностью до постоянного множителя) величинам . Однако при  напряжения на выходе согласованного или коммутируемого фильтра на рис. 3.5 существенно отличаются от напряжений на выходе интегратора на рис. 3.3. Покажем это на примере, когда сигнал представляет собой квазигармоническое колебание с медленно меняющимися амплитудой и фазой относительно

Причем . Предположим, что передается действительно сигнал , помеха настолько мала, что ею можно пренебречь и с точностью до постоянного множителя . Тогда в момент  напряжение на интеграторе в схеме рис. 3.3 (или на оптимальном фильтре рис. 3.4) равно

.

Так как интеграл от быстро осциллирующей функции приблизительно равен нулю, то вторым слагаемым можно пренебречь. Поэтому

                                 (3.35)

т. е. напряжение на выходе интегратора представляет собой неубывающую функцию и постепенно нарастает от нуля до своего значения при . В частности, если , это напряжение линейно возрастает (рис. 3.7,а).

Рис. 3.7. Процесс установления напряжений на выходе интегратора (а) и согласованного фильтра (б).

Напряжение на выходе согласованного фильтра в схеме рис. 3.5 определяется формулой (3.33). Подставив в нее значение  (при ) и положив , получим с точностью до постоянного множителя

где через  обозначены быстро осциллирующие члены, интегралом от которых можно в первом приближении пренебречь. После простых преобразований получим

        (3.36)

где 

Это напряжение представляет собой осциллирующую функцию с возрастающей амплитудой и медленно меняющейся фазой. В частности, если  и  (рис. 3.7,б),

Из этого примера следует, что в схеме рис. 3.5 требования к синхронизации момента отсчета значительно более жесткие, чем в схеме рис. 3.3, поскольку небольшое смещение точки отсчета напряжения с выхода согласованного фильтра на величину порядка   приведет к большой ошибке и даже может изменить знак результата (рис. 3.7,б), тогда как момент отсчета напряжения на Интеграторе (рис. 3.7,а) может быть особого ущерба отклоняться на более значительную величину, лишь бы она была много меньше .

Впрочем, всем рассмотренным схемам свойственны очень жесткие требования к синхронизации. Если в схеме с согласованными фильтрами эти требования относятся к синхронизации момента отсчета, то в остальных схемах требуется не меньшая точность синхронизации напряжения имитаторов сигнала. Поэтому на практике такие схемы используются крайне редко. Значительно более широко применяются методы некогерентного приема, которые будут рассмотрены в следующей главе.