3.4. Вероятности ошибок и потенциальная помехоустойчивость при двоичном коде

Вычислим сначала вероятность ошибок в двоичных системах (), полагая, что прием ведется в соответствии с оптимальным правилом (3.27), полученным из критерия максимального правдоподобия. При предположении, что передаваемые символы равновероятны, этот критерий совпадает с критерием идеального наблюдателя и вероятность ошибки будет наименьшей возможной (при данных параметрах сигнала и помехи) и определит потенциальную помехоустойчивость.

Для двоичной системы правило (3.27) означает, что символ  регистрируется в тех случаях, когда

                                                  (3.27а)

а символ  — при противоположном знаке неравенства.

Предположим, что передается символ  [сигнал ]. Тогда вероятность ошибки представляет собой вероятность того, что неравенство (3.27а) не выполняется. В этом неравенстве случайными величинами являются  и . Подставляя в (3.27а) выражения для  (3.26) и имея в виду, что при передаче сигнала  коэффициенты  и  находим

После простых преобразований получим неравенство, эквивалентное (3.27а),

        (3.37)

в котором левая часть является постоянной (для заданных сигналов), а правая представляет собой случайную величину.

Левая часть этого неравенства, как легко убедиться, может быть представлена в интегральной форме

          (3.38)

и её можно назвать эквивалентной мощностью пары сигналов  и . Действительно, она представляет собой «мощность» разности этих сигналов.

Правая часть неравенства (3.37) представляет собой линейную комбинацию независимых нормально распределенных случайных величин ,  и, следовательно, также имеет нормальное распределение вероятностей. Обозначим правую часть буквой  Так как все слагаемые в этой части имеют математическое ожидание, рапное нулю, то и математическое ожидание  также равно нулю. Дисперсия величины  равна сумме дисперсий слагаемых, т. е.

или, учитывая (3.16) и (3.38),

                                                               (3.39)

Зная математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной величины можно записать выражение для ее плотности вероятности

                                 (3.40)

Вероятность ошибки представляет собой вероятность того, что неравенство (3.27а) или эквивалентное ему неравенство (3.27) не выполняется. Другими словами, вероятность ошибки  — это вероятность того, что случайная величина  превысит :

     (3.41)

где через  обозначена табулированная функция Крампа

                                       (3.42)

Легко убедиться, что и в том случае, когда фактически передается сигнал  вероятность ошибки также определяется формулой (3.41). Потому дискретным отображением такого канала является симметричный однородный двоичный канал, каковы бы ни были сигналы  и

Из (3.41) следует очень важный вывод. Минимальная вероятность ошибки однозначно определяется отношением эквивалентной энергии элемента сигнала  к спектральной плотности помехи  (которая также имеет размерность энергии) и не зависит от других параметров, в том числе от полосы частот, занимаемой сигналом.

Полученным результатам можно дать простую геометрическую интерпретацию. Будем рассматривать коэффициенты ряда Фурье приходящих сигналов  и  как прямоугольные координаты в -мерном пространстве ( — база системы). Тогда каждый из двух сигналов  и  может быть представлен точкой (или вектором) в этом -мерном пространстве. Принимаемый сигнал   также может быть представлен точкой с координатами ,   или вектором, представляющим геометрическую сумму вектора пришедшего сигнала   с составляющими ,  и вектора помехи с составляющими   Это представление вытекает из формулы (3.3). Очевидно, что коэффициенты ряда Фурье помехи с частотами, лежащими вне полосы  можно не учитывать, так как во всех полученных выше формулах для правила приема и для вероятности ошибки эти коэффициенты либо не содержатся, либо сокращаются.

Рис. 3.8. Геометрическое представление критерия максимального  правдоподобия для двоичной системы.

Правило решения (3.23) или (3.24) при этом получает вполне определенный геометрический смысл. Оптимальная (в смысле критерия максимального правдоподобия) решающая схема должна выбирать тот из возможных сигналов, изображающая точка которого находится ближе остальных к точке принимаемого сигнала . В двоичном случае это правило сводится к тому, что -мерное пространство разделяется на два полупространства гиперплоскостью, перпендикулярной прямой, соединяющей точки  и  и проходящей через ее середину. Если точка  лежит в том же полупространстве, что и , то решающая схема выбирает символ  и наоборот. На рис. 3.8 показана плоскость, проведенная через точки  и . Прямая  представляет сечение этой плоскости гиперплоскостью, разделяющей пространство на две области приема.

Легко видеть, что в таком геометрическом представлении величина  (3.38) является половиной квадрата расстояния между точками, изображающими сигналы  и . Обозначив это расстояние , получим .

Величина  выражает, как видно из правой части неравенства (3.37), скалярное произведение вектора помехи  на разность векторов сигналов  и . Но это скалярное произведение можно представить как проекцию  вектора помехи  на прямую, соединяющую точки  и , умноженную на расстояние  между этими точками. Таким образом, неравенство (3.37) может быть записано в следующем виде:

                                                    

или

                                  (3.43)

Это неравенство является условием правильного приема переданного символа. Поэтому вероятность ошибки — это вероятность того, что неравенство (3.43) не будет выполнено, т. е. что проекция вектора помехи т превысит половину расстояния между точками, изображающими сигналы  и . Очевидно, что при этом условии точка, изображающая принимаемый сигнал , окажется не в том полупространстве, в котором лежит точка, соответствующая действительно переданному сигналу

(см. рис. 3.8,6), и произойдет ошибка. Нетрудно, исходя из условия нарушения неравенства (3.43), получить выражение (3.41).

Заметим, что на вероятность ошибок влияет только та составляющая вектора помехи, которая совпадает по направлению с прямой, соединяющей точки, изображающие сигналы  и . Составляющие помехи, перпендикулярные к этому направлению, на вероятность ошибки не влияют. Это свойство характерно для оптимальных методов приема в тех случаях, когда начальные фазы сигналов известны априори. Такие методы приема называют обычно когерентными.

Для обеспечения наибольшей потенциальной помехоустойчивости двоичной системы связи нужно выбрать сигналы  и  так, чтобы получить наибольшую возможную величину . Обычно бывает задана средняя мощность сигнала, которая при равных априорных вероятностях символов  и  равна .

Выражение для   (3.38) можно представить так:

.           (3.44)

При заданных значениях ,  и   максимум  обеспечивается, если   будет отрицательным и максимальным по абсолютной величине. Согласно неравенству Буняковского—Шварца

,

 

причем равенство обеспечивается, если , где  — произвольная постоянная. С другой стороны, среднее геометрическое  принимает максимальное значение, равное среднему арифметическому   при условии, что , т. е. при . Таким образом, для получения максимума  необходимо принять , т. е. . При этом все составляющие ряда Фурье  имеют те же амплитуды, что и составляющие , но фазы их сдвинуты на 180°.

Таким образом, оптимальной по помехоустойчивости двоичной системой является система с активной паузой и противоположными сигналами. Подставив в (3.44) , получим для . Следовательно, вероятность ошибки согласно (3.41) равна

,              (3.45)

где введено обозначение

.                                                                 (3.46)

Величина  представляет отношение средней энергии элемента сигнала на входе приемного устройства к спектральной плотности помехи. Этим обозначением мы будем пользоваться на протяжении всей книги.

Часто интересуются не отношением энергии элемента сигнала к спектральной плотности помехи, а отношением  мощностей сигнала и помехи на входе приемника в полосе частот  либо отношением спектральных плотностей сигнала и помехи. Так как , то имеют место следующие соотношения:

,                                       (3.47)

где  — средняя спектральная плотность сигнала. Отсюда следует, что заданное значение h может быть получено при любом сколь угодно малом отношении  или  , если сигналы имеют достаточно большую базу .

Так, например, при  вероятность ошибки в системе с противоположными сигналами равна . Если при этом , то необходимое отношение   для обеспечения такой достоверности приема равно . Но если сигналы имеют большую базу, например если , то такая же вероятность ошибки будет получена при

Не следует, однако, думать, что применение широкополосных сигналов (сигналов с большой базой) позволит уменьшить мощность передатчика при заданной верности приема. Действительно, мощность помехи в полосе частот  пропорциональна этой полосе, и необходимая мощность передатчика для обеспечения заданной величины  равна

.

Поэтому, если заданы длительность элемента сигнала , коэффициент передачи  и спектральная плотность белого шума , то необходимая мощность передатчика однозначно определяется требуемой величиной  не зависит от полосы частот , занимаемой сигналом. Уменьшить необходимую мощность передатчика (или уменьшить вероятность ошибки при заданной мощности передатчика) можно лишь путем увеличения  (например, применяя направленные антенны), путем уменьшения  (например, если помеха обусловливается внутренними шумами приемника, снижая коэффициент шума) либо, наконец, путем увеличения  (замедляя передачу).

Если сигналы  являются относительно узкополосными в том смысле, что полоса частот  значительно меньше средней частоты спектра сигнала (что практически всегда имеет место в радиоканалах), то, как известно, любой сигнал может быть представлен в виде квазигармонического колебания

               (3.48)

где  и  — относительно медленно меняющиеся функции времени, и за время одного периода «высокочастотного заполнения»  величины  и  можно с достаточно большой точностью считать постоянными.

При этом условии средняя мощность сигнала равна

,                                       (3.49)

а пиковая (максимальная) мощность

,                                                     (3.50)

где — максимальное значение огибающей .

Из полученных выше результатов ясно, что величина пиковой мощности непосредственно не влияет на вероятность ошибок. Если, как это часто бывает, пиковая мощность передатчика ограничена, то для повышения помехоустойчивости следует выбирать форму сигналов такой, чтобы при заданной пиковой мощности   обеспечивалась наибольшая возможная средняя мощность , т.е. использовать сигналы с наименьшими пикфактором огибающей. Очевидно, что это условие будет выполнено, если , так как при этом   и пикфактор равен 1.

Простой двоичной системой с противоположными сигналами и с пикфактором, равным 1, является система с фазовой манипуляцией на 180° , при которой используются сигналы

           (3.51)

Для таких сигналов оптимальная когерентная решающая схема (рис. 3.3) получается весьма простой, так как в качестве имитаторов сигналов используется один генератор гармонических колебаний  напряжение которого подводится к одному перемножителю, показанному на рис. 3.9,а. Эта схема регистрирует символ  если в момент отсчета  напряжение на выходе интегратора (или оптимального фильтра) положительно, и символ , если это напряжение отрицательно. Легко убедиться, что такая схема соответствует правилу (3.28). Действительно, при   из (3.26) следует, что  и правило (3.28) может преобразовано к виду

.                                                                      (3.52)

Легко видеть, что такая же схема пригодна и для любой двоичной системы с противоположными сигналами, если в качестве имитатора сигнала подать напряжение, пропорциональное .

Можно построить и более простую решающую схему, не содержащую перемножителя (рис. 3.9,6), совершенно эквивалентную предыдущей и называемую фазовым детектором. Здесь образуются сумма и разность приходящего сигнала  с опорным напряжением местного генератора , которые затем раздельно детектируются квадратичными детекторами КД, и разность продетектированных напряжений интегрируется на интервале от 0 до . Решение о передававшемся символе принимается, как и в предыдущей схеме, по знаку напряжения U на выходе интегратора в момент отсчета .

Рис. 3.9. Функциональные схемы когерентного приема для системы ФТ:  а) с перемножителем; б) с фазовым детектором.

Говоря о том, что эти схемы эквивалентны, мы утверждаем, что при подаче на них одного и того же сигнала , знаки напряжений на их выходах будут одинаковыми. Следовательно, и ошибочные решения будут возникать одновременно в обеих схемах.

Для доказательства этого утверждения запишем значения выходных напряжений обеих схем в момент отсчета:

где  — произвольная постоянная.

Раскрывая скобки, получим

т. е. величина   пропорциональна   и, следовательно, имеет тот же знак.

Помимо систем с противоположными сигналами практический интерес представляют и некоторые другие системы. Упомянем здесь два класса систем — системы с ортогональными сигналами и с пассивной паузой.

В системах с ортогональными сигналами функции  и  удовлетворяют условию ортогональности на интервале :

                                       (3.53)

В этом случае из (3.44) следует, что . Подставляя это значение в (3.41), найдем вероятность ошибки в системе с ортогональными сигналами:

          (3.54)

Сравнивая (3.54) с (3.45), можно заметить, что для получения одинаковых верностей приема сигналы в ортогональной системе должны иметь мощность в 2 раза больше, чем в системе с противоположными сигналами. Для уменьшения требуемой пиковой мощности сигнала, а также для упрощения решающей схемы выгодно иметь .

Примерами простых ортогональных систем являются: система с фазовой манипуляцией на 90° с сигналами

        (3.55)

система с частотной манипуляцией (ЧТ) с сигналами

                                        (3.56)

Другими примерами ортогональных систем с активной паузой могут служить, например, системы с сигналами:

          (3.57)

или

             (3.58)

или

            (3.59)

Можно было бы привести еще сколько угодно таких примеров.

Как видно из (3.54), вероятности ошибок для всех приведенных здесь систем одинаковы, если только одинаковы средние мощности приходящих сигналов и длительности элементов сигнала  и если прием происходит при одинаковой интенсивности белого шума. Некоторые из перечисленных систем имеют преимущество перед другими с точки зрения требований к пиковой мощности сигнала. Такими являются системы (3.55), (3.56), (3.59), для которых пик-фактор равен единице. Различные дополнительные соображения, часть из которых будет обсуждена ниже, побуждают в различных конкретных случаях отдавать предпочтение той или иной из этих систем.

Системы с пассивной паузой являются частным случаем ортогональных систем. Один из сигналов, например  может быть любой функцией времени, а . Очевидно, что при этом условие ортогональности (3.53) выполняется и вероятность ошибки определяется выражением (3.54). Нужно, однако, иметь в виду, что в этом случае

,

т. е. мощность сигнала  должна быть вдвое больше, чем мощность сигнала в эквивалентной ортогональной системе с активной паузой.

Примером системы с пассивной паузой является простая система с амплитудной манипуляцией (AT) с сигналами

                                     (3.60)

Рис. 3.10. Вероятность ошибки при когерентном приеме двоичных сигналов.

Заметим, что вероятность ошибки при когерентном приеме для любой двоичной системы в соответствии с (3.41) может быть записана в форме

                                       (3.61)

где коэффициент  зависит от скалярного произведения сигналов и равен

         (3.61а)

Коэффициент   может принимать значения от нуля (при ) до  (при ). При   вероятность ошибки, как и следовало ожидать, равна , а пропускная способность канала в соответствии с (2.28) равна нулю. Действительно, сигналы в этом случае неразличимы даже при отсутствии помех. Для ортогональных систем .

Вероятность правильного приема символа можно выразить так:

                                   (3.61б)

На рис. 3.10 показана зависимость  от , построенная по формуле (3.61).