3.5. Вероятности ошибок и потенциальная помехоустойчивость при основании кода m>2

В случае применения кода с основанием  сохраняют силу оптимальные правила решения (3.28) или (3.27) (в зависимости от того, одинаковы или не одинаковы мощности всех вариантов сигнала). Ошибка при приеме символа  возникает в тех случаях, когда неравенство (3.28) или (3.27) не выполняется хотя бы для одного значения индекса .

Здесь также удобно применить геометрическую интерпретацию, рассматривая возможные приходящие сигналы как   точек в -мерном пространстве с координатами , . При этом ошибки будут происходить всякий раз, когда точка, изображающая принимаемый сигнал , окажется дальше от точки, изображающей действительно пришедший сигнал   чем от какой- либо другой точки .

Расстояние между парой сигнальных точек  и   в такой модели равно

         (3.62)

Взаимное расположение сигнальных точек однозначно определяется совокупностью всех попарных расстояний . Если передается символ , то точка, изображающая принимаемый сигнал , окажется ближе к некоторой сигнальной точке , чем к , в том случае, когда проекция вектора помехи на прямую, соединяющую точки и , положительна и превышает . Для белого шума вектор помехи обладает сферической симметрией, вследствие чего вероятность такого события зависит не от координат указанных точек, а только от расстояния  между ними. Поскольку это справедливо для любой пары точек, то все вероятности переходов однозначно определяются взаимным расположением сигнальных точек, т. е. совокупностью расстоянии . Две системы с одинаковым расположением сигнальных точек называются изоморфными. В ряде случаев удается упростить определение помехоустойчивости заданной системы с сигналами сложной структуры путем сведения к изоморфной системе с более простыми сигналами.

К сожалению, для случая  нельзя получить столь универсальное и простое выражение вероятности ошибок, как (3.41) или (3.61). Поэтому мы ограничимся только кратким рассмотрением некоторых классов систем, характеризуемых определенными расположениями сигнальных точек.

Начнем с класса эквидистантных систем, которые отличаются тем, что расстояния между любыми парами сигнальных точек  у них одинаковы. Можно доказать, что в такой системе при базе (числе измерений)  максимальное число сигналов . Так, в одномерном пространстве, т. е. на прямой, любая пара точек образует эквидистантную систему; но добавить к ним третью точку так, чтобы расстояния между любой парой из них были одинаковыми, невозможно. В двумерном пространстве (на плоскости) можно построить эквидистантную систему из трех точек. Эти точки являются вершинами равностороннего треугольника. В трехмерном пространстве возможны четыре эквидистантные точки, расположенные в вершинах правильного тетраэдра. Вообще, в -мерном пространстве можно расположить  эквидистантных точек, находящихся в вершинах фигуры, которая в геометрии называется -мерным симплексом.

Конкретные формы сигналов в эквидистантных системах могут быть различными. Так, например, при  эквидистантные системы могут содержать такие сигналы:

    а) 

 (фазовая манипуляция на 120 и 240°):

                б) 

 

в)  

 

                         г)   

 

 д)  

 (частотная манипуляция) и т. д.

Геометрические представления этих систем на плоскости и в трехмерном пространстве (для случая д) показаны на рис. 3.11. Легко убедиться, что для всех приведенных примеров . Однако мощности сигналов в этих примерах различные. Примеры (а), (г) и (д) представляют собой системы с активной паузой, так как для них . В частности, для примеров (а) и (г) , тогда как для примера (д) . Системы (б) и (в) не являются системами с активной паузой. Если считать передачу всех трех символов равновероятной, то . В этом случае для примера (б) , а для примера (в) . В то же время вероятности ошибок для всех этих систем одинаковы, поскольку одинаковы .

Рис. 3.11. Геометрическое представление сигналов эквидистантных троичных систем.

Заметим, что сигналы в примере (д) являются ортогональными. Легко убедиться, что любая система из  взаимно ортогональных сигналов с одинаковыми мощностями является эквидистантной. Действительно, пусть  и  представляют собой два каких-либо сигнала такой системы. Тогда по определению (3.62)

,

так как

,

а  из условия ортоганальности.

Таким образом,   не зависит от индексов   т. е. одинаково для любой пары сигналов. Другими словами, ортогональные системы с активной паузой представляют собой частный случай эквидистантных систем.

Вычислим вероятность правильного приема для ортогональной системы с активной паузой при оптимальной решающей схеме. Поскольку все ортогональные системы с активной паузой при заданной мощности сигнала изоморфны, то выберем простую систему с частотной манипуляцией, содержащую сигналы:

                                               (3.63)

Предположим, для определенности, что передавался сигнал .

Оптимальная решающая схема для системы с активной паузой действует в соответствии с правилом (3.28), которое для данного конкретного случая можно упростить. Из (3.26), учитывая (3.63), находим

                            

Подставив эти выражения в (3.28) и разделив обе части неравенств на , получим правило выбора символа   для данной ортогональной системы:

                                       (3.64)

(при всех ).

Вероятность правильного приема — это вероятность того, что при всех  неравенства (3.64) выполнены. По поскольку все  представляют собой независимые случайные величины с одинаковым нормальным распределением вероятностей, то условная вероятность правильного приема символа  при некотором определенном значении  равна . Для нахождения полной вероятности  правильного приема нужно усреднить это выражение по :

     (3.65)

[здесь произведена замена переменной ].

Для данной ортогональной системы . Поэтому вероятность правильного приема (3.65) можно выразить через , получив таким образом общую формулу для всех изоморфных эквидистантных систем

.       (3.66)

В рассмотренной ортогональной системе .

Учитывая, что , и по-прежнему обозначая , можно выразить вероятность правильного приема для ортогональной системы так:

.     (3.67)

Интеграл в (3.67) не может быть выражен в элементарных функциях и для его вычисления применяются численные методы.

Полученные выражения показывают, что вероятность правильного приема так же, как и в двоичных системах, определяется отношением  энергии элемента сигнала к спектральной плотности шума и не зависит от полосы частот, занимаемой сигналом. При  из (3.67) можно получить (3.54).

Однако ортогональная система не является оптимальной. Можно построить изоморфную систему, обеспечивающую такую же вероятность ошибки при меньшей мощности сигнала. Для нахождения наименьшей возможной мощности эквидистантной системы с одинаковыми априорными вероятностями символов нужно, не изменяя взаимного расположения сигнальных точек, поместить начало координат в такую точку, чтобы сумма квадратов расстояния от него до сигнальных точек была минимальной. Это не что иное, как задача о нахождении центра тяжести, когда в сигнальных точках сосредоточены одинаковые массы. На рис. 3.11 такое расположение имеет место в примерах (а) и (г).

Минимальную мощность сигнала при заданном  в эквидистантной системе можно найти также из геометрических соображений. Она равна , где — радиус -мерной гиперсферы, описанной вокруг симплекса со стороной . Из геометрии известно, что , откуда . Подставив значение  в (3.66), получим наибольшую вероятность правильного приема в эквидистантной системе с мощностью сигнала  :

          (3.68)

Этот интеграл также не может быть в элементарных функциях.

При равных априорных вероятностях символов и оптимальной решающей схеме все вероятности переходов в эквидистантной системе одинаковы и, очевидно, равны

 ,

откуда следует, что дискретное отображение канала в этом случае является симметричным.

Для неэквидистантных систем это свойство не сохраняется, так что при    дискретное отображение канала с постоянными параметрами и аддитивным белым шумом, вообще говоря, не является симметричным.

В качестве примера неэквидистантных систем можно привести класс так называемых биортогональных систем. В этих системах  всегда четное, причем для каждого сигнала  существует противоположный сигнал , а  остальные  сигнала ортогональны сигналу . Примером биортогональной системы с активной паузой может служить следующая система:

                                          (3.69)

Для биортогональной системы вероятность правильного приема, вычисленная аналогично выводу формулы (3.65), равна

             (3.70)

Эта вероятность правильного приема меньше, чем для эквидистантной системы при тех же значениях  и . Однако биортогональные системы позволяют получить заданное значение  при меньшей базе сигнала, чем эквидистантные, что иногда является преимуществом.

Другим примером неэквидистантной системы является система с фазовой манипуляцией (ФТ):

                      (3.71)

В этой системе, независимо от , база равна 2 и сигналы могут быть изображены векторами на плоскости. При  и  эта система является эквидистантной (при  ее геометрическое представление дано на рис. 3.11,а), а при  — биортогональной. Поэтому для этих значений  вероятность правильного приема можно найти соответственно по формулам (3.61,6), (3.68) и (3.70). В частности, для  из (3.70) легко получить заменой переменных

  (3.70а)

В общем случае, из правила решения (3.24) следует, что в схеме с согласованным фильтром решение о том, что передавался сигнал  должно приниматься, если начальная фаза напряжения на выходе фильтра находится в пределах от  до . Ошибка возникнет, если фаза выйдет за эти пределы. Пользуясь распределением вероятностей фазы синусоидального сигнала с гауссовским шумом [20], можно вычислить вероятность ошибок:

                  (3.71а)

где   — табулированная функция Никольсона.

При больших значениях   и   довольно точной оказывается оценка

                                                    (3.71б)

Вообще говоря, при увеличении основания кода , если энергия сигнала  и спектральная плотность шума остаются неизменными, вероятность правильного приема элемента уменьшается. Если же сохранять неизменными мощность сигнала и скорость передачи информации (при этом , а следовательно, и  возрастают пропорционально ), то эквивалентная вероятность правильного приема может увеличиться. Примером этого может служить сравнение ортогональных систем с  и , приведенное в [1].