3.6. Решающая схема и помехоустойчивость при нормальном шуме с неравномерным спектром

В предыдущих параграфах предполагалось, что аддитивной помехой является нормальный белый шум. Рассмотрим, как изменятся полученные результаты, если шум будет по-прежнему нормальным, но не белым.

Задачу выбора оптимальной решающей схемы и вычисления вероятности правильного (или ошибочного) приема символа при нормальном шуме с неравномерным спектром можно свести к аналогичной задаче при белом шуме путем следующего метода, впервые предложенного В. А. Котельниковым [1].

Для случая белого шума задача построения оптимальной решающей схемы (оптимального приемника) при любых заданных параметрах сигналов решена (см. § 3.3). Пусть теперь на входе приемного устройства существует сигнал и нормальный шум с энергетической спектральной плотностью . Если пропустить эту смесь сигнала и шума через линейный фильтр частотная характеристика которого с точностью до постоянного коэффициента удовлетворяет условию

(3.72)

то на выходе фильтра шум останется нормальным (так как фильтр линейный), но окажется белым (так как его энергетическим спектром будет ). Сигналы на выходе фильтра будут, конечно, отличаться от сигналов на его входе. Однако, зная ожидаемые сигналы на входе фильтра и определив характеристику фильтра , можно найти сигналы на выходе . Заметим, что условие (3.72) определяет только модуль частотной характеристики фильтра , а его фазовая характеристика может быть выбрана произвольно. Физическая реализуемость фильтра такого «обеляющего» фильтра обеспечивается, если энергетическая спектральная плотность удовлетворяет некоторым условиям, в частности, если она не принимает значений нуль или бесконечность на конечном отрезке частот .

Подключим теперь к выходу фильтра оптимальную решающую схему рассчитанную на новую совокупность сигналов , принимаемых на фоне белого шума (рис. 3.12,а). Докажем, что такое соединение фильтра и решающей схемы , представляет собой оптимальную решающую схему для сигналов , принимаемых на фоне заданного не белого шума.

Предположим, что наше утверждение неверно. Тогда должна существовать некоторая другая решающая схема , лучше удовлетворяющая критерию оптимальности, чем схема, показанная на рис. 3.12,а. Подключим ко входу решающей схемы последовательно два фильтра — фильтр , о котором говорилось выше, с частотной характеристикой и фильтр с частот ной характеристикой (рис.312,б). Поскольку последовательно соединенные фильтры и не изменяют сигнал и помеху, поступающие на их вход, то схема рис. 3.12,б совершенно эквивалентна решающей схеме . На выходе фильтра присутствуют белый шум и сигналы .

Поэтому можно рассматривать часть схемы рис. 3.12,б, обведенную пунктиром, как-

решающую схему, на которую поступают сигналы на фоне белого шума.

Рис. 3.12. Решающая схема при гауссовском шуме с неравномерным спектром.

Согласно сделанному предположению решающая схема удовлетворяет критерию оптимальности для сигналов на фоне не белого шума лучше, чем схема рис. 3.12,а. Следовательно, на выходе схемы рис. 3.12,б правильные решения будут встречаться чаще, чем на выходе схемы рис. 3.12,а. Если это так, то обведенная пунктиром часть схемы рис. 3.12,б лучше удовлетворяет критерию оптимальности для сигналов на фоне белого шума, чем решающая схема . По это противоречит условию, по которому является оптимальной решающем схемой для сигналов при белом шуме. Это противоречие и доказывает, что схема рис. 3.12,а представляет оптимальную решающую схему для исходных сигналов , принимаемых на фоне нормального шума с энергетическим спектром .

Часто ставят вопрос, в каком случае максимальная вероятность правильного приема данных сигналов будет выше; при белом шуме или при шуме такой же интенсивности с неравномерным спектром. В такой форме этот вопрос недостаточно определен, так как в нем не указано, как сравнивать интенсивность шума. Сравнивать их по полной мощности нельзя, так как у идеального белого шума мощность бесконечна. При сравнении по спектральной плотности нужно указать, на какой частоте она измеряется.

Так, в работе [9] рассматривается максимальная помехоустойчивость простых сигналов при шуме с симметричной частотной характеристикой, имеющей один максимум на средней частоте сигнала, на которой и измеряется спектральная плотность. При этом вычисляется не максимальная вероятность правильного приема, характеризующая потенциальную помехоустойчивость и реализуемая в оптимальной решающей схеме (например, рис. 3.12,а), а вероятность ошибки, которая может быть получена при использовании схемы, являющейся оптимальной для белого шума (т. е. без применения «обеляющего» фильтра). Очевидно, что вычисленная таким образом вероятность правильного приема, вообще говоря, ниже максимальной. Тем не менее она оказывается большей, чем при белом шуме, и монотонно возрастает при сокращении эффективной ширины спектра помехи.

По-видимому, и при любой другой частотной характеристике нормального шума вероятность правильного приема заданных сигналов будет не ниже, чем при белом шуме, если сравнение производить по одинаковым значениям максимальной спектральной плотности.

Необходимо подчеркнуть, что полученные результаты справедливы в том случае, когда шум имеет неравномерный спектр на самом входе приемного устройства, где сигналы имеют заданную форму . Совершенно другими будут зависимости, если спектр шума становится неравномерным в результате прохождения через цепь с неравномерной частотной характеристикой, которая включена между входом приемника и решающей схемой. При этом, очевидно, и сигнал, пройдя избирательную цепь, изменит свою форму, так что на выходе цепи будут присутствовать шум с неравномерной частотной характеристикой и видоизмененные сигналы .

Рис. 3.13. Решающая схема с частотно-избирательной цепью (ЧИЦ) на входе.

Разумеется, такая избирательная цепь с точки зрения защиты от флюктуационных помех не нужна. Оптимальная решающая схема при белом шуме, как было показано выше, может вовсе не содержать каких-либо линейных фильтров в общем тракте (например,

рис. 3.2, 3.3, 3.5 и т. д.). Тем не менее в практических схемах приемников всегда предусматривается частотная избирательность по двум причинам. Во-первых, как будет показано в гл. 8, частотная избирательность часто бывает необходима для защиты от сосредоточенных помех. Во-вторых, если бы даже существовали только флюктуационные помехи, их мощность при отсутствии частотной избирательности могла бы стать настолько большой, что начали бы сказываться нелинейные явления, нарушающие работу решающей схемы.

В соответствии с полученным выше результатом оптимальный метод приема в этом случае заключается в том, что сигнал и помеха, прошедшие частотно-избирательную цепь, подаются на фильтр преобразующий шум в белый, а затем на решающую схему (рис. 3.13,а). Но легко видеть, что представляет собой фильтр с частотной характеристикой, обратной характеристике избирательной цепи. Поэтому на выходе фильтра будут присутствовать сигналы исходной формы на фоне белого шума, и решающая схема будет работать так же, как если бы никаких избирательных цепей в приемнике не было. Следовательно, максимальная вероятность правильного приема (потенциальная помехоустойчивость) не изменяется, если сигнал вместе с помехой пропустить через обратимую частотно-избирательную цепь.

Однако на практике схема рис. 3.13,а обычно не может быть использована. Дело в том, что применение частотно-избирательной цепи в приемном устройстве преследует определенные цели, о которых было сказано выше. Включение же фильтра после избирательной цепи эквивалентно отказу от частотной избирательности. Поэтому приходится вместо схемы рис. 3.13,а использовать схему рис. 3.13б, где после избирательной цепи сигнал с помехой поступает на решающую схему, не содержащую фильтра и не нарушающую введенную частотную избирательность. Но, поскольку такая решающая схема отличается от схемы рис. 3.13а, она уже не будет оптимальной. Таким образом, применение линейных избирательных цепей до решающей схемы должно увеличить вероятность ошибок, вызываемых флюктуационной помехой (в частности, белым шумом).

Непосредственными причинами, обусловливающими возрастание вероятности ошибок в этом случае, являются, во-первых, понижение энергии сигнала (в результате подавления части спектра сигнала в избирательной цепи) и, во-вторых, растягивание сигнала во

времени при прохождении через избирательную цепь. Наибольшую роль играет вторая причина, из-за которой приему данного элемента сигнала мешают не только флюктуационная помеха, но и помехи, возникающие в результате переходных процессов в избирательной цепи, вызванных предыдущими элементами сигнала.

Для того чтобы линейная избирательная цепь приемника не приводила к заметному увеличению вероятности ошибок, нужно, очевидно, потребовать, чтобы ее эффективная полоса пропускания была достаточно велика по сравнению с эффективной шириной спектра сигнала и чтобы при заданной полосе пропускания переходные процессы затухали, как можно быстрее. Последнее требование, как известно, выполняется, если резонансная характеристика избирательной цепи близка к гауссовской (колоколообразной) [9]. Если эффективная полоса пропускания фильтра с гауссовской характеристикой превышает , где — условная полоса частот, занимаемая сигналом (3.4), и — длительность элемента сигнала, то, как показывают многие примеры, уменьшением энергии сигнала и влиянием переходных процессов можно пренебречь. Используя такой фильтр в качестве избирательной цепи, можно не учитывать его при вычислении вероятности ошибок, вызываемых флюктуационной помехой.

Пусть решающая схема выполнена в варианте с согласованными фильтрами (рис. 3.5). Тогда «обеляющий» фильтр , показанный на рис. 3.12,а, и фильтр , согласованный с сигналом , принимаемым на фоне белого шума, оказываются соединенными последовательно. Их можно рассматривать как один фильтр, согласованный с сигналом в условиях гауссового шума с неравномерным спектром (рис. 3.13).

Если — частотная характеристика (передаточная функция) фильтра , a — комплексная спектральная плотность сигнала то сигнал на выходе фильтра имеет спектральную плотность . Фильтр, согласованный с в условиях белого шума, должен иметь согласно (3.32) передаточную функцию

Последовательное соединение фильтра , и фильтра, согласованного с , т. е. фильтр, согласованный с сигналом при помехе с энергетической спектральной плотностью , имеет передаточную функцию

или, учитывая (3.72),

Таким образом, передаточная функция согласованного фильтра при шуме с неравномерным спектром отличается от (3.32) только множителем . Она определяется однозначно, хотя использованная при выводе функция была определена только по модулю. Поскольку спектральная плотность шума после обеляющего фильтра равна 1, а энергия сигнала равна

то для двоичной системы с противоположными сигналами вероятность ошибки можно определить по формуле (3.45), подставив в нее

. (3.73)

Аналогично вычисляется вероятность ошибок и для других систем.

Во всех приведенных рассуждениях имеется одна недоговоренность. Полученные выводы безусловно справедливы, пока идет речь о приеме одного изолированного элемента сигнала. Пусть принимается последовательность элементов , каждый из которых имеет длительность и которые поэтому не перекрываются во времени.

В случае белого шума все рассмотренные варианты решающей схемы допускают раздельную обработку каждого элемента сигнала, без взаимных (межэлементных) помех. В частности, как было отмечено, реакция согласованного фильтра на предыдущие элементы полностью затухает к моменту отсчета для текущего элемента.

Иначе обстоит дело при помехе с неравномерным спектром. Если элементы сигнала взаимно не перекрываются, то после прохождения фильтра (рис. 3.12) преобразованные им элементы сигнала , как правило, растягиваются и в той или иной степени взаимно перекрываются. Другими словами, в момент отсчета напряжение на выходе фильтра с передаточной функцией (3.72) будет определяться не только последним принимаемым элементом сигнала, но и рядом предыдущих элементов, т. е. возникнут межэлементные помехи, увеличивающие (иногда очень существенно) вероятность ошибки.

Если при проектировании системы связи спектральная плотность помехи заранее известна, то можно сформировать такие сигналы чтобы преобразованные сигналы взаимно не перекрывались. Это можно, например, сделать при помощи «предыскажения» следующим образом. Передатчик формирует выбранные сигналы длительностью . Перед вводом их в канал они пропускаются через специальный фильтр с передаточной функцией , выбранной так, что . Полученные на выходе сигналы посылаются в канал. Очевидно, что, пройдя через обеляющий фильтр приемника, они снова превратятся в неперекрывающиеся сигналы , принимаемые на фоне белого шума.

Следует подчеркнуть одно существенное отличие передачи сообщений в канале с неравномерным спектром помехи по сравнению со случаем белого шума. При белом шуме вероятность ошибки зависит от отношения энергии сигнала к спектральной плотности шума и от взаимного соотношения сигналов, выражаемого в двоичном случае коэффициентом в формуле (3.61), но не зависит от «тонкой структуры» сигнала. Так, при противоположных сигналах вероятность ошибки выражается формулой (3.45) и при известной мощности сигнала не зависит от его формы, спектра и т. д.

Это свойство не сохраняется при неравномерном спектре помехи. В этом случае сигналам с одинаковой мощностью могут соответствовать различные значения . Из (3.73) видно, что наибольшее обеспечивают такие сигналы, у которых модуль спектральной плотности отличен от нуля только в той области частот, где спектральная плотность шума достаточно мала. Этот вывод, впрочем, достаточно тривиален. Более детальная теория позволяет определить форму оптимального сигнала в зависимости от , если он существует [8]. В некоторых случаях такого оптимального сигнала нет. Так, если монотонно убывает с ростом частоты (довольно частый случай), то очевидно, что чем выше область частот, в которой сосредоточена основная часть энергии сигнала, тем меньше будет вероятность ошибок. Обычно, однако, на область используемых частот наложены дополнительные ограничения, не позволяющие сколь угодно повысить помехоустойчивость таким методом.