Система с пассивной паузой

При неодинаковых мощностях сигналов, если даже условия ортогональности сохраняются, не удается получить общего выражения для вероятности ошибки и ее приходится вычислять для каждой конкретной системы. В качестве примера рассмотрим простую двоичную систему с амплитудной манипуляцией (АТ) с сигналами

    

где  - случайная начальная фаза.

Здесь мощность сигналов , . Полагая априорные вероятности сигналов одинаковыми, получим среднюю мощность сигнала

Величины  определим по формуле (4.25):

Согласно правилу (4.28а) решение о том, что передавался символ , должно приниматься, если

                 (4.50)

Ошибка будет иметь место тогда, когда при передаче «посылки» (символа ) неравенство (4.50) не будет выполняться и когда при передаче «паузы» (символ ) оно будет выполняться.

Предположим вначале, что . При этом с большой вероятностью

При   и неравенство (4.50) можно приближенно заменить более простым

 

                             (4.50а)

которое означает, что при сильном сигнале идеальный приемник должен регистрировать символ  в том случае, когда амплитуда составляющей принятого сигнала с частотой  превосходит порог срабатывания, равный половине амплитуды ожидаемого сигнала.

Найдем вероятность ошибки при передаче паузы, т. е. вероятность выполнения неравенства (4.50) при паузе. В этом случае

представляет случайную величину с распределением Релея

  (при ).

Вероятность  ошибки при паузе является вероятностью того, что  превысит

                   (4.51)

где  - отношение средней энергии элемента сигнала к спектральной плотности помехи.

Найдем теперь вероятность ошибки при посылке, т. е. вероятность того, что неравенство (4.50) не выполнится, когда

Величина

подчиняется обобщенному распределению Релея [6]

 

Вероятность того, что при посылке произойдет ошибка, т. е. что  примет значение, меньшее , равна

      (4.52)

где  - специальная табулированная функция,

                      (4.53)

Интегрируя по частям, можно представить -функцию в виде ряда

                              (4.53а)

Вероятность ошибки при посылке несколько меньше, чем вероятность ошибки при паузе. Полная вероятность ошибки

                   (4.54)

Таким образом, система AT при оптимальном некогерентном приеме является несимметричной. Можно было бы выбрать порог срабатывания так, чтобы вероятности ошибок при паузе и при посылке были одинаковыми, но тогда будет нарушено оптимальное правило (4.50) и полная вероятность ошибок возрастет.

Отбросим теперь условие

Рис. 4.10. График функции .

Обозначим через  функцию, обратную , т.е. , если . График функции изображен на рис. 4.10. Тогда неравенство (4.50) можно записать так:

или

Это неравенство отличается от (4.50а) тем, что выражение в правой части зависит не только от , но и от .

Следовательно, при слабом сигнале оптимальный порог срабатывания определяется не только амплитудой приходящего сигнала, но и уровнем помехи. Обозначим оптимальный порог срабатывания через ; тогда величину  назовем оптимальным относительным порогом срабатывания. На рис. 4.11 изображена зависимость оптимального относительного порога срабатывания от . При больших значениях  он стремится к , что согласуется с (4.50а).

Вероятность ошибки определим, подставив в (4.51) и (4.52) предел интегрирования  вместо :

                            (4.55)

Полная вероятность ошибки, вычисленная подстановкой (4.55) в (4.54), приведена на рис. 4.12. Заметим, что в области не очень малых вероятностей ошибок  эта кривая удовлетворительно аппроксимируется формулой (4.49), т.е. система АТ мало отличается по помехоустойчивости от двоичных ортогональных систем с активной паузой. Следует, однако, иметь в виду, что здесь сравнение производится при одинаковых средних мощностях (одинаковых ). При этом пиковая мощность (мощность посылки) в системе AT вдвое больше, чем в системе ЧТ.

Рис. 4.11. Зависимость оптимального относительного порога срабатывания от .

Рис. 4.12. Зависимость вероятности ошибки от  в системе АТ.