Неортогональные системы с активной паузой

Вычисление вероятности ошибки в случае, когда условия (4.18) не выполнены, можно провести таким же образом, как и в предыдущих примерах. Однако здесь возникают существенные затруднения при вычислении совместной плотности величин  вследствие того, что   не являются независимыми.

Рассмотрим вначале двоичную систему с активной паузой и предположим, что передавался сигнал , а начальная фаза приняла значение . Для вычисления вероятности ошибки при оптимальном некогерентном приеме нужно найти плотность распределения вероятностей величин  и проинтегрировать ее по области, в которой

Очевидно, что и в этом случае распределение величин  нормальное. Вычислим их моменты:

           (4.56)

аналогично

    (4.57)

где введены обозначения

                   (4.57а)

Заметим, что из неравенства Буняковского-Шварца следует, что

                                                          (4.57б)

Величина  характеризует степень отклонения от ортогональности, поскольку при сигналы ортогональны в усиленном смысле, а при  они с точностью до начальной фазы совпадают.

Для вторых моментов получим, как при выводе (4.41):

Очевидно, что и для  и  значение дисперсии задается выражением (4.41). Далее легко убедиться, что

Аналогично,

Таким образом, корреляционная матрица величин  имеет вид

                  (4.58)

Совместная (четырехмерная) плотность распределения вероятностей этих величин может быть записана в следующей форме [6]:

где для сокращения введены обозначения:

Произведя замену переменных по формулам (4.25) и обозначив  найдем четырехмерную плотность величин  которая оказывается независимой от :

           (4.59)

где, как и всюду,

Проинтегрировав эту плотность по  и в пределах от  до , найдем двумерную плотность  и :

              (4.60)

Для нахождения вероятности ошибки достаточно проинтегрировать эту двумерную плотность по области  Разлагая функцию Бесселя в ряд, после простых, но довольно громоздких преобразований, получим следующий результат [7]:

                        (4.61)

где — модифицированная функция Бесселя -го порядка.

Ряд в (4.61) довольно быстро сходится при малых , особенно если величина  не очень велика. При , т. е. при ортогональных в усиленном смысле сигналах, все члены ряда обращаются в нуль и  что совпадает с ранее полученной формулой (4.49).

При  можно с точностью до 10% пренебречь всеми членами в (4.61), кроме первого, и полагать

                         (4.61а)

Если  и  не очень малы, удобнее преобразовать формулу (4.61) и выразить вероятность ошибок через табулированную -функцию (4.53). С этой целью воспользуемся тождеством

и перепишем в следующем виде:

откуда согласно (4.53а)

              (4.61б)

На рис. 4.13 изображена зависимость вероятности ошибки от при различных значениях . Как видно из этого рисунка, наиболее помехоустойчивой является ортогональная система (). При увеличении  от 0 до 0,4 вероятность ошибки возрастает сравнительно мало и отклонение от ортогональности может быть скомпенсировано небольшим увеличением мощности сигнала. Это еще более наглядно показано на рис. 4.14, где представлена зависимость необходимого значения  от  при заданной вероятности ошибки. Когда  стремится к единице, сигналы становятся неразличимыми (при некогерентном приеме) и никаким увеличением мощности скомпенсировать падение верности нельзя.

Заметим, что величина  имеет простой физический смысл. Читатель может легко убедиться в том, что она равна отношению огибающей на фильтре, согласованном с , к огибающей на фильтре, согласованном с  в момент отсчета, если на них подан сигнал  без помехи.

Для систем с основанием кода  и неортогональными сигналами получить достаточно просто общие выражения для вероятности ошибки при оптимальном некогерентном приеме не удается. Однако для отдельных частных случаев с помощью более или менее искусственных приемов удается получить точные решения или хотя бы оценки. Здесь, как и при когерентном приеме, иногда можно свести задачу к более простой, используя изоморфизм систем. Однако при некогерентном приеме для изоморфизма систем недостаточно равенства котельниковских расстояний. Необходимо еще, чтобы это равенство сохранялось при изменениях начальных фаз сигналов. Достаточным условием для того, чтобы две системы были изоморфными, является возможность так перенумеровать сигналы, чтобы выполнялись равенства

        (4.62)

где верхние индексы указывают систему.

Действительно, при выполнении условия (4.62) все величины   в обеих системах имеют при приеме определенного сигнала одинаковое совместное распределение вероятностей, а оно однозначно определяет вероятность ошибки.

Рис. 4.13. Вероятность ошибки для двоичной системы с неортогональными сигналами.

Рис. 4.14. Зависимость необходимого значения  от  при заданных вероятностях ошибки.

В качестве примера найдем оценки вероятности ошибок для системы с активной паузой при , сигналы которой удовлетворяют условию

       (4.63)

Другими словами, для каждого из четырех сигналов существует один ортогональный, а относительно остальных двух ортогональность не имеет места. Этому условию удовлетворяет такая система:

                     (4.63а)

где - любые неодинаковые целые числа; — случайная начальная фаза, . Несмотря на кажущуюся искусственность этого примера, он является полезным, поскольку на нем легко продемонстрировать основные методы получения оценок для вероятности ошибок, когда точное значение вычислить не удается. Кроме того, этот пример будет в дальнейшем использован для анализа одной системы, широко применяемой на практике.

Оптимальная решающая схема регистрирует символ , если одновременно  и  т.е.

  и.т.д  (4.64)

где для сокращения обозначено

Это правило выведено из критерия максимального правдоподобия, совпадающего при равных априорных вероятностях с критерием идеального наблюдателя, и, следовательно, обеспечивает в этих условиях минимальную вероятность ошибки. Если заменить правило (4.64) любым другим, то вероятность ошибки не уменьшится, а может только возрасти. Поэтому вычислив вероятность ошибки при некотором правиле решения, отличном от (4.64), мы получим оценку сверху для вероятности ошибки в оптимальной решающей схеме.

Изменим правило решения так, чтобы упростить вычисление вероятности ошибки, а именно будем полагать, что решающая схема регулирует символ  (соответствующий сигналу ), если выполнена следующая пара неравенств:

                               (4.65а)

                              (4.65б)

Если оба эти неравенства не выполняются, то регистрируется символ . При выполнении неравенства (4.65а) и невыполнении (4.65б) регистрируется символ , а в обратном случае — символ  Таким образом, постулированное правило сводится к следующему: гипотеза о том, что передавался «сигнал» , сравнивается по правдоподобию с гипотезой о передаче  и независимо от этого сравниваются между собой гипотезы о передаче  или . Выбор этих частных гипотез осуществляется по оптимальному правилу некогерентного приема.

Заметим, что «сигналы»  и  попарно ортогональны в усиленном смысле. Поэтому вероятность ошибки при выборе первой пары «гипотез» ( и ) не зависит от того, как происходит выбор второй пары ( и ), и обе вероятности определяются формулой (4.49). Нужно только учесть, что энергия сигнала  вдвое меньше энергии полного сигнала , и поэтому, сохраняя обозначение  для отношения энергии сигнала  к спектральной мощности шума, нужно соответствующее отношение для  обозначить

Таким образом, правильное решение о переданном сигнале  по неоптимальному правилу (4.65) будет иметь место, если произойдут два независимых события — правильное решение по правилу (4.65а) и правильное по правилу (4.65б).

Вероятность каждого из этих событий равна

а вероятность правильного решения по неоптимальному правилу (4.65) равна

Отсюда получается оценка для вероятности ошибок по оптимальному правилу:

                          (4.66)

Практическая значимость такой оценки невелика до тех пор, пока не будет получена какая-либо оценка этой же вероятности ошибок снизу. Если при этом окажется, что в некоторой области эти оценки достаточно близки друг к другу, то ими можно с успехом пользоваться как приближенными выражениями.

Для нахождения оценки вероятности ошибок снизу рассмотрим когерентный прием сигналов (4.63), полагая начальную фазу  известной. Очевидно, что вероятность ошибок при оптимальном некогерентном приеме не может быть меньше вероятности ошибок при оптимальном когерентном приеме, поскольку отсутствие сведений о каком-либо параметре сигналов (в данном случае о начальной фазе) не может повысить верность приема. Система (4.63) при когерентном приеме изоморфна биортогональной системе (3.69) при . Это легко проверить, вычислив котельниковские расстояния между каждой парой сигналов

и убедившись в том, что они одинаковы для обеих систем. Вероятность ошибки при когерентном приеме в данном случае определяется выражением (3.70а). Но поскольку энергия сигнала в (3.69) вдвое меньше, чем в (4.63), то, сохраняя обозначение  для отношения энергии сигнала к спектральной плотности шума в системе (4.63), получим вероятность ошибки при когерентном приеме

а поскольку  является оценкой снизу для вероятности ошибок при оптимальном некогерентном приеме, то окончательно, объединяя с (4.66), найдем

                  (4.67)

Полученные оценки изображены сплошными кривыми на рис. 4.15. Эти кривые достаточно близки друг к другу, так что при практических расчетах они позволяют с удовлетворительной точностью оценить вероятность ошибки. Если, как это чаще всего встречается на практике, нужно по заданной вероятности ошибки определить требуемое значение , то среднее между двумя оценками дает погрешность (в области ) не свыше ±15%. На этом же рисунке показана пунктирной кривой вероятность ошибок в ортогональной системе при , вычисленная по формуле (4.48):

Из сравнения этих кривых видно, что отклонение от ортогональности, как и в двоичных системах, приводит к увеличению вероятности ошибок, которое может быть скомпенсировано довольно существенным увеличением мощности сигнала.

В заключение отметим, что дискретное отображение канала в рассмотренной системе оказывается несимметричным. Если передается символ  и произошла ошибка, то с большей вероятностью будет принят символ  или , чем . Символ  с большей вероятностью перейдет в  или, чем в , и т. д. К этому мы вернемся в гл. 9.

Рис. 4.15. Оценки вероятности ошибок для системы (4.63) снизу (а) и сверху (б). Вероятность ошибки для ортогональной системы при  (в).