Широкополосный прием с интегрированием после детектора

Рассмотренные выше методы узкополосного приема проще, чем оптимальные, однако требования к стабильности частоты при узкополосном приеме остаются приблизительно столь же жесткими, как и при квадратурной схеме. Эти требования можно в значительной степени снизить, если вместо узкополосных разделительных фильтров применить широкополосные, полосы пропускания которых превосходят возможные изменения частоты сигнала под влиянием дестабилизирующих факторов. Разумеется, при этом номинальное значение сдвига частоты  должно быть того же порядка, что и эффективная полоса пропускания фильтра .

Если , то собственные колебания в фильтре затухают настолько быстро, что остаточными напряжениями, созданными предыдущими элементами сигнала, можно полностью пренебречь. Но расширение полосы пропускания фильтра вызывает увеличение мощности шума, прошедшего через этот фильтр. Поскольку напряжение сигнала на выходе широкополосного фильтра достаточно быстро устанавливается, отношение мощности сигнала к мощности шума на выходе равно

                                              (4.77)

Будем считать также, что частотные характеристики фильтров практически не перекрываются. Это позволяет считать шумы на выходе фильтров некоррелированными.

Производя регистрацию принятого сообщения путем сравнения мгновенных значений огибающих на выходе фильтров (одна из которых имеет обобщенное, а другая— обычное релеевское распределение вероятностей), можно получить такое же выражение для вероятности ошибок, как и при оптимальной схеме, с той лишь разницей, что величина  заменяется величиной :

                                               (4.78)

т. е. такой метод приема эквивалентен потере мощности сигнала в  раз по сравнению с оптимальным приемом.

Однако можно существенно повысить помехоустойчивость широкополосного приема, если принимать решение не на основании мгновенных значений огибающих, а учитывать весь их ход на протяжении длительности элемента сигнала . Заметим, что при узкополосном приеме учет значений огибающей в различные моменты времени на протяжении одного элемента не может повысить помехоустойчивость, поскольку все эти значения сильно коррелированны между собой и поэтому несут мало дополнительной информации. При широкополосном фильтре интервал корреляции [6]

                                                          (4.79)

(где — огибающая коэффициента корреляции шума, прошедшего через фильтр) значительно меньше . Поэтому и появляется возможность повысить помехоустойчивость путем учета всего хода огибающей.

Предположим, что решение принимается на основании учета значений огибающих напряжений на выходе фильтров в моменты времени, кратные . Примем в качестве первого приближения, что значения шума, разделенные интервалом , взаимно некоррелированны. Обозначим эти значения для первого фильтра через , а для второго фильтра — через , где . Найдем оптимальное правило решения (основанное на критерии идеального наблюдателя), осуществляемое по этим значениям.

Если принимаемый элемент сигнала имеет частоту  и проходит через первый фильтр, то величина  можно представить как длину некоторой суммы постоянного вектора сигнала и случайного вектора помехи с нормально распределенными компонентами и поэтому они подчиняются обобщенному релеевскому распределению вероятностей. Величины же  представляющие длину вектора помехи, имеют обычное релеевское распределение. Если частота принимаемого элемента сигнала равна  и он проходит через второй фильтр, то, наоборот, величины  имеют релеевское, а  — обобщенное релеевское распределение вероятностей.

Первое предположение приводит к совместной плотности вероятности

     (4.80)

а второе предложение – к выражению

      (4.81)

где  - амплитуда приходящего сигнала;  - мощность шума, прошедшего через фильтр.

Решающая схема, основанная на критерии максимального правдоподобия, принимает решения в соответствии со значением отношения величин (4.80) и (4.81) при наблюдаемых  и . Сравнивая эти выражения между собой, видим, что они отличаются только последним сомножителем. Следовательно,  если

Логарифмируя это неравенство, приведем его к более удобному виду:

                  (4.82)

При выполнении этого неравенства приемник должен регистрировать первый символ, в противном случае — второй.

Правило решения (4.82) может быть осуществлено, если продетектировать напряжение фильтров экспоненциальными детекторами, сложить значения напряжения на выходе детектора в моменты, кратные , и затем сравнить между собой полученные суммы.

Рис. 4.17. Прием с интегрированием после детектора.

Фактически, вместо дискретного сложения отдельных отсчетов производится интегрирование напряжения на выходе каждого из детекторов. Функциональная схема такого решающего устройства показана на рис. 4.17,а. Интегрирование результата детектирования можно производить, накапливая заряд на конденсаторе, который должен разряжаться после приема каждого элемента, либо подавая напряжение с выхода детектора на фильтр, согласованный с прямоугольным импульсом, имеющим импульсную реакцию

                             (4.83)

(например, построенный по схеме рис. 3.4).

Вместо того, чтобы раздельно интегрировать напряжения на выходах детекторов и сравнивать их между собой, можно сразу интегрировать разность этих напряжении (рис. 4.17,б) и принимать решение в зависимости от знака полученного интеграла. Обе схемы совершенно эквивалентны; практически используется вторая схема как более простая, но первая схема удобнее для проведения анализа.

Оценим вероятность ошибок, возникающих при таком методе приема. На входе одного из детекторов присутствует практически неискаженный сигнал и шум, прошедший через фильтр; мощность шума равна , где  — эффективная полоса пропускания фильтра. На входе второго детектора присутствует только шум с такой же мощностью. Эффективную полосу пропускания фильтра будем считать значительно большей, чем — .

Предположим сначала, что характеристика детектора квадратичная. Тогда в цепи первого детектора ток, как известно [15], содержит постоянную составляющую

,                                            (4.84)

низкочастотную флюктуационную составляющую с интенсивностью

                                           (4,85)

а также составляющие в области высоких частот, которые отсеиваются в цепи нагрузки детектора и интереса для нас не представляют.

В этих формулах

 — параметр детектора;

 — мощность шума на входе детектора;

 - отношение мощности сигнала к мощности шума на входе детектора.

В цепи второго детектора, на который сигнал не воздействует, ток содержит также постоянную составляющую

                                                              (4.86)

                                                             (4.87)

и высокочастотные составляющие, которые здесь можно не учитывать.

Распределение вероятностей флюктуационных составляющих тока детектора, вообще говоря, отличается от нормального.

На выходе интегратора, включенного после первого детектора, напряжение пропорционально

                                        (4.88)

где  - флюктуационная часть детекторного тока.

Значение интеграла  является случайной величиной с нулевым математическим ожиданием (поскольку математическое ожидание  равно нулю). Найдем дисперсию  этой случайной величины:

                                 (4.89)

Произведя замену переменных  и изменив порядок интегрирования и взятия математического ожидания, получим

                  (4.90)

где  — коэффициент корреляции флюктуационной части тока первого детектора.

Рис. 4.18. Область интегрирования (4.90).

Замена пределов интегрирования в четвертом равенстве поясняется на рис. 4.18; переход в шестом равенстве сделан на основании четности коэффициента корреляции.

При  коэффициент корреляции затухает настолько быстро, что его можно считать отличным от нуля только в начальной части интервала  в которой  Поэтому

                      (4.90а)

где — интервал корреляции шума на выходе первого детектора.

Если условие  выполнено, то распределение вероятности величины  близко к нормальному. Действительно, этот интеграл можно рассматривать как сумму большого количества интегралов:

Если области интегрирования в каждом из этих интегралов больше интервала корреляции , то их можно считать независимыми. Поэтому в соответствии с центральной предельной теоремой распределение вероятностей суммы интегралов стремится к нормальному, когда  стремится к бесконечности.

Аналогично, на выходе второго интегратора напряжение представляет приблизительно нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием  и дисперсией

                           (4.90б)

где  —  коэффициент корреляции шума на выходе второго детектора;  —  интервал корреляции шума.

Ошибка при приеме элемента в схеме с интегрированием после детектора возникает тогда, когда разность напряжений на первом и втором интеграторах окажется отрицательной. Эта разность, очевидно, является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием, равным  и дисперсией  Поэтому вероятность ошибки равна

               (4.91)

Подставив значения величин, входящих в (4.91), найдем

                            (4.91а)

Интервалы корреляции  и  определяются коэффициентом корреляции  низкочастотного шума на выходе детектора. Для квадратичного детектора [15]

                                             (4.92)

где — огибающая коэффициента корреляции  процесса на входе детектора, зависящая от частотной характеристики входного фильтра.

Так, при использовании в качестве фильтра одиночного колебательного контура с эффективной полосой пропускания

а при идеальном П-образном фильтре

Подставив эти значения в (4.92), найдем для одиночного контура

а для П-образного фильтра

Значения  получаются из этих же выражений, если положить

 — для одиночного колебательного контура,

 — для П-образного фильтра.

Подставив полученные значения в (4.91а), найдем для одиночного колебательного контура

                             (4.93)

для П-образного фильтра

                           (4.93а)

Для других возможных частотных характеристик фильтров на входе детектора интервалы корреляции находятся между значениями для одиночного контура и для П-образного фильтра. Это дает право записать вероятность ошибки в общем виде

                                            (4.93б)

где

На рис. 4.19 представлена зависимость вероятности ошибок от  при различных значениях  и различных формах характеристики фильтра на входе квадратичного детектора. Из рис. 4.19 следует, что вероятность ошибок сравнительно мало зависит от входного фильтра. При  изменения полосы пропускания фильтра почти не влияют на вероятность ошибок, которая при этом условии приблизительно равна

                               (4.93в)

т. е. отличается от вероятности ошибок при оптимальном когерентном приеме тем, что мощность сигнала как бы уменьшилась вдвое. Таким образом, интегрирование после квадратичного детектора при больших значениях  эквивалентно энергетическому проигрышу в 2 дБ по сравнению с когерентным приемом или примерно в 2 дБ с оптимальным некогерентным приемом (кривая б рис. 4.19). Впрочем, при   квадратичное детектирование плохо аппроксимирует зависимость (4.82) и должно быть заменено линейным.

Рис. 4.19. Вероятность ошибки при широкополосном приеме с интегрированием после детектора:

Для линейного детектирования [15]:

                             (4.94)

где

Коэффициент корреляции шума на выходе линейного детектора в первом приближении имеет такое же значение, как и на выходе квадратичного [15]. Величина  при  и  при . Это позволяет воспользоваться полученными выше значениями интервалов корреляции  и  Подставив величины (4.94) в (4.91), найдем

                                                        (4.95)

где

Здесь для одиночного контура

          

а для П-образного фильтра

Полученная зависимость показана на рис. 4.19 (кривые ). При  кривые мало отличаются от соответствующих кривых для квадратичного детектора, а при  помехоустойчивость схемы с линейным детектором существенно выше, чем с квадратичным, и приближается к помехоустойчивости оптимальной схемы некогерентного приема. При  можно приближенно считать  и выражение (4.95) упростится:

для одиночного контура

                                          (4.95а)

для фильтра с П-образной характеристикой

                                          (4.95б)

На практике часто вместо интегратора на выходе детектора используется фильтр нижних частот, не согласованный с прямоугольным импульсом. При этом напряжение на выходе фильтра будет пропорционально не интегралу (4.88), а интегралу Дюамеля

                                         (4.96)

где — импульсная реакция фильтра нижних частот.

Этот интеграл представляет случайную величину, числовые характеристики которой можно вычислить, зная . Если  мало отличается от (4.83), то и помехоустойчивость такого метода приема будет приближаться к помехоустойчивости приема с интегрированием после детектора. Но обычно применяемые сравнительно простые фильтры нижних частот имеют импульсную реакцию, отличную от нуля при любом значении . Это приводит к тому, что выходное напряжение фильтра в момент отсчета зависит не только от принимаемого элемента сигнала, но и от предыдущих элементов аналогично тому, как это имеет место на выходе высокочастотного фильтра в схеме узкополосного приема по огибающей.

Указанное явление существенно повышает вероятность ошибок, и для борьбы с ним приходится применять фильтры с относительно широкой полосой пропускания, при которой реакция  к моменту  в достаточной степени затухает. В результате величина   в интеграле (4.96) в значительной части области интегрирования оказывается существенно меньше единицы; это приводит к «неполному интегрированию» помехи, т. е. к уменьшению отношения постоянной составляющей к флюктуирующей составляющей напряжений на выходе фильтра, фигурирующего под знаком функции  в (4.91).

Многочисленные расчеты [9] показывают, что для различных характеристик фильтров нижних частот наилучшее компромиссное решение между условиями получения достаточно малых остаточных напряжений от предшествовавших элементов сигнала и наилучшего усреднения шума получается, когда эффективная полоса пропускания фильтра нижних частот приблизительно равна. При этом энергетический проигрыш (относительно приема с интегрированием после детектора) составляет 2-4 дБ.

Интегрирование или фильтрацию можно применить также после частотного детектора в схеме приема по мгновенной частоте. Для приближенного вычисления вероятности ошибки при  можно также принять распределение усредненной мгновенной частоты нормальным. В случае П-образного фильтра с полосой пропускания , полагая интервал корреляции равным , повторяя те же рассуждения, что и при выводе (4.91), приходим к следующему результату:

                                          (4.97)

Поскольку частоты сигнала должны попадать в полосу пропускания фильтра, то даже не предусматривая запаса полосы пропускания на нестабильность, следует считать . Поэтому наименьшая вероятность ошибок при таком приближении равна

                                    (4.97а)

т. е. энергетический проигрыш по сравнению с когерентным приемом равен примерно 2 дБ, а по сравнению с оптимальным некогерентным приемом — около 1 дБ. Этот небольшой проигрыш вызван в основном частичной потерей информации в ограничителе.

Подводя итог, можно отметить, что неоптимальные широкополосные методы приема частотно-манипулированного сигнала, основанные на интегрировании (или даже на обычной фильтрации) после амплитудного детектора или дискриминатора, не сильно отличаются по помехоустойчивости от оптимального некогерентного приема. Впрочем, следует помнить, что эти выводы справедливы лишь при условии  или  В противном случае энергетический проигрыш резко возрастает. К тому же, при неоптимальных методах приема по огибающей полоса частот, занимаемая сигналом,  значительно превышает величину  так как при малых значениях разности  нельзя достаточно хорошо разделить сигналы фильтрами перед детекторами.